Geom / AnGeom_7
.pdf
Уравнения кривых
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Каноническое уравнение прямой Общее уравнение прямой
Определение.
Вектором нормали к прямой l называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный прямой l.
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Каноническое уравнение прямой Общее уравнение прямой
Параметрическое уравнение прямой на плоскости
Теорема.
Пусть прямая l имеет направляющий вектор ~e = {ex, ey} и проходит через точку M0 = (x0, y0). Тогда l задается
уравнением |
x = x0 + tex , называемым параметрическим. |
|
y = y0 + tey |
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Каноническое уравнение прямой Общее уравнение прямой
Параметрическое уравнение прямой на плоскости
Доказательство.
Заметим, что точка M(x, y) лежит на прямой l тогда и |
||||||||||||
только тогда, когда |
−−−→ |
k |
~e |
. |
||||||||
M |
|
M |
||||||||||
0 |
|
|
||||||||||
−−−→ |
k |
|
|
−−−→ |
· |
|
|
|
|
|
||
0 |
M |
~e |
0 |
|
~e |
|
|
|
||||
M |
|
|
M |
M = t |
|
|
|
|||||
Переходя к координатам, получим равенство
x − x0 = tex y − y0 = tey
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Каноническое уравнение прямой Общее уравнение прямой
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Теорема.
Пусть прямая l имеет направляющий вектор ~e = {ex, ey} и проходит через точку M = (x0, y0). Тогда прямая l задается
уравнением
x − x0 = y − y0 , ex ey
называемым каноническим.
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Каноническое уравнение прямой Общее уравнение прямой
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Доказательство.
Параметрическое уравнение прямой l имеет вид
x = x0 + tex y = y0 + tey
Выразим параметр t из первого и второго уравнения:
|
|
t = |
x − x0 |
|
||||
|
|
exy0 |
||||||
|
|
|
y |
|
||||
|
t = |
|
|
− |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ey |
||
и приравняем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
. |
||||
|
ex |
|
|
|
ey |
|||
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Каноническое уравнение прямой Общее уравнение прямой
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Замечание.
В каноническом уравнение x − x0 = y − y0 допустимо ex ey
деление на 0. Означает это лишь то, что числитель дроби, знаменатель которой равен 0, обращается в ноль.
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Каноническое уравнение прямой Общее уравнение прямой
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть прямая l проходит через точки M = (x0, y0) и N = (x1, y1). Тогда прямая l задается уравнением
x − x0 |
= |
y − y0 |
. |
x1 − x0 |
|
y1 − y0 |
|
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Каноническое уравнение прямой Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой на плоскости
Теорема.
Пусть A2 + B2 6= 0. Любое уравнение вида Ax + By + C = 0 задает прямую. Любая прямая l может быть задана уравнением Ax + By + C = 0, называемым общим.
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Каноническое уравнение прямой Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой на плоскости
Доказательство.
Дано уравнение Ax + By + C = 0, где A2 + B2 6= 0. Пусть (x0, y0) какое-либо решение этого уравнения. Тогда
Ax0 + By0 + C = 0.
Вычтем последнее равенство из исходного уравнения:
( ) A(x − x0) + B(y − y0) = 0.
Заметим, что уравнение ( ) и исходное эквивалентны. Т.е. их множества решений совпадают.
Аналитическая геометрия. Лекция 7
Уравнения кривых
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Каноническое уравнение прямой Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой на плоскости
( ) A(x − x0) + B(y − y0) = 0.
Преобразуем уравнение ( ) к виду:
x − x0 = y − y0 . −B A
Данное уравнение задает прямую на плоскости, так как {−B, A} ненулевой вектор.
Аналитическая геометрия. Лекция 7