Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 6

Ряды Фурье

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

16.Представьте в виде ряда Фурье:

16.1. f(x) = cos²x, x [−, ), f(x + 2) = f(x).

16.2. f(x) = sin²x, x [−, ), f(x + 2) = f(x).

16.3. f(x) = cos⁴x, x [−, ), f(x + 2) = f(x).

16.4. , x [−, ), f(x + 2) = f(x).

16.5. f(x) = |x|, x [−, ), f(x + 2) = f(x).

16.6. f(x) = |sin x|, x [−, ), f(x + 2) = f(x).

16.7.sign(cos x), x (−, ), f(x + 2) = f(x).

16.8. , |q| < 1, x (−, ), f(x + 2) = f(x).

16.9. f(x) = |cos x|, x [−, ), f(x + 2) = f(x).

16.10. , x [−, ), f(x + 2) = f(x).

16.11. , |q| < 1, x (−, ), f(x + 2) = f(x).

17.Найдите сумму ряда Фурье

18.Докажите, что

19.Докажите, что

, |q| < 1.

.

.

При решении задач этого раздела можно использовать формулы

(*) , x (−, ),

(**) , x [−, ],

20.Используя формулу (*), найдите значение суммы числового ряда

.

21.Используя формулу (**), найдите значение суммы числового ряда

.

22.Найдите значение суммы числового ряда

.