Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 2

Признаки равномерной сходимости

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

3.Исследуйте ряды на равномерную сходимость.

3.1. .

3.2. .

3.3. .

3.4. .

4._{Исследуйте сходимость интеграла:}

4.1. .

4.2. .

4.3. .

4.4. .

4.5. .

4.6. .

4.7. .

Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов

Основные понятия

Равномерно сходящиеся ряды обладают рядом свойств, которые и делают такие ряды очень важными для приложений. Дело в том, что при определенных условиях функциональные ряды можно дифференцировать почленно, интегрировать, менять местами знаки предела и суммы и т.п. Это дает возможность успешно использовать разложение в ряд функций при решении алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений.

Теорема 1. Пусть функциональная последовательность {f_n(x)} равномерно сходится к f(x) на промежутке X и при каждом n существует конечный предел .

Тогда последовательность {A_n} сходится и

Теорема 2. Если функциональный ряд сходится равномерно на промежутке X и

существуют конечные пределы , где a X, то ряд сходится, и

верно равенство

.

Теорема 3. Пусть функциональная последовательность {f_n(x)} непрерывна на промежутке X и равномерно сходится к f(x) на этом промежутке. Тогда f(x) непрерывна на промежутке X.

Теорема 4. Если все функции u_k(x) непрерывны на промежутке X и ряд сходится на этом промежутке, то сумма ряда S(x) является непрерывной

функцией на промежутке X.

Теорема 5. Если последовательность непрерывных функций f_n(x) сходится

равномерно на сегменте [a, b] к функции f(x), то последовательность сходится

равномерно на сегменте [a, b] к интегралу .

Теорема 6. Если все функции u_k(x) непрерывны на сегменте [a, b] и , то x, x₀ [a, b]

,

то есть при указанных условиях функциональный ряд можно интегрировать почленно.

Теорема 7. Пусть функции f_n(x) имеют непрерывные производные на сегменте [a, ^{b]. Пусть {f}_n^(x)} → ^f_n^{(x) хотя бы в одной точке сегмента [a, b], а последовательность} производных сходится равномерно на [a, b]. Тогда последовательность f_n(x) сходится равномерно на сегменте к функции f(x), дифференцируемой на сегменте [a, b] и предельная функция f(x) имеет производную . Другими словами,

последовательность можно дифференцировать почленно.

Теорема 8. Если все функции u_k(x) имеют производную на сегменте [a, b] и если ряд

из производных сходится равномерно на сегменте к функции F(x), а сам ряд

сходится хотя бы в одной точке сегмента, то ряд сходится равномерно

на [a, b] к функции S(x), S^'(x) = F(x). То есть ряд при этих условиях можно дифференцировать почленно.