Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 5

Ряды Тейлора

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

13.Найдите область сходимости ряда

13.1.

13.2.

14.Разложите функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x = 3.

15._{Разложите функцию f(x) в ряд Тейлора с центром в точке x = 0.}

15.1. f(x) = e^−x2

15.2. f(x) = sin³x

15.3. f(x) = cos²x

ГЛАВА XIX. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. § 6

Ряды Фурье

Основные понятия

1. Тригонометрический ряд Фурье

Определение 1. Функция f(x), определённая на всей числовой прямой, называется периодической, если T > 0 : x f (x + T) = f(x)

Если среди всех положительных периодов T имеется наименьший, то он называется наименьшим положительным периодом.

Система функций

1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, …, cos nx, sin nx, …

называется основной тригонометрической системой функций.

В этом параграфе мы исследуем вопрос о возможности представить некоторую периодическую функцию с периодом 2в виде сходящегося (в некотором смысле) функционального ряда, каждый член которого является функцией основной тригонометрической системы с некоторым коэффициентом.

Будут установлены достаточные условия того, что периодическая функция f (x) может быть представлена в указанном виде,

(1)

Равенство (1) называется разложением функции f (x) в тригонометрический ряд Фурье, коэффициенты a_n и b_n называются коэффициентами Фурье функции f (x) по косинусам и по синусам. Выведем формулы для a_n и b_n Для этого будем считать, что f (x) задана на сегменте [ − ; ] является периодической на всей числовой оси c периодом 2.

Используя таблицу интегралов, установим свойство, которое называют «ортогональностью тригонометрической системы функций»,

,

,

,

,

.

В пространстве интегрируемых функций, заданных на сегменте [ − ; ], введем скалярное произведение функций следующим образом:

.

Если (f, g) = 0, то функции f и g называются ортогональными. Таким образом, основная тригонометрическая система состоит из взаимно ортогональных Функций.

Будем предполагать, что для функции f (x) справедливо равенство (1) и что этот ряд (называемый рядом Фурье) можно почленно интегрировать.

Проинтегрируем равенство (1) в пределах x [ − ; ],

,

поэтому

.

Умножим равенство (1) на cos kx и проинтегрируем в пределах x [ − ; ],

,

поэтому

.

Аналогично получим

.

Таким образом,

, , .

Теорема 1. Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то для любого числа

a имеет место равенство

,

т.е. интеграл по любому сегменту длиной в период имеет одно и тоже значение.