- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 1
- •2. Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных рядов.
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 2
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 2
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 4
- •1. Понятие степенного ряда.
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 4
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 4
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 5
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 5
- •2. Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье.
- •5. Замкнутые и полные ортонормированные системы.
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 6
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 6
Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 4
Степенные ряды
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
10.Определите радиус и интервал сходимости ряда и исследуйте поведение в граничных точках интервала сходимости.
10.1.
10.2.
10.3.
11.Применяя почленное дифференцирование, вычислить сумму ряда .
12.Применяя почленное интегрирование, вычислить сумму ряда .
ГЛАВА XIX. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. § 5
Ряды Тейлора
Основные понятия
Теорема 1. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки a, и у функции f(x) существуют производные любого порядка в этой точке, то она может быть
представлена рядом .
Определение. Областью сходимости ряда Тейлора с центром разложения в точке a будем называть множество точек x, удовлетворяющих неравенству |x − a| < R, где R называют радиусом сходимости.
Теорема 2.Радиус сходимости для ряда Тейлора определяется по формуле Коши-Адамара:
,
где под ck в данном случае понимаем .
Напомним, что эта формула верна для любого ряда вида .
Часто используются следующие основные разложения в ряд Тейлора с центром разложения в точке x = 0:
;
.
В случае приближенных вычислений ряд заменяется его частичной суммой
Число n определяется точностью, с которой необходимо провести
вычисления. Оценку точности можно получить по остаточному члену ряда Тейлора, для которого существуют разные формы представления, но наиболее часто используются
остаточный член в форме Лагранжа
или остаточный член в форме Коши:
.
Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 5
Ряды Тейлора
Примеры решения задач
1.Найдите радиус сходимости и область сходимости ряда
.
Решение. Воспользуемся формулой Коши-Адамара.
.
Область сходимости − .
2.Разложите в ряд Тейлора в окрестности точки x = 2 функцию .
Решение. Применим формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии
, где a1 − первый член прогрессии, q − знаменатель прогрессии.
Только на этот раз мы не будем считать сумму прогрессии, а наоборот, от суммы перейдем к ряду.
Действительно, .
Тогда .
3.Разложите в ряд Тейлора с центром в точке x0 = 0 функцию f(x) = arctg x в ее области сходимости.
Решение. Рассмотрим производную .
Разложим эту функцию в ряд Тейлора, используя сумму прогрессии:
.
Область сходимости этого степенного ряда |x| < 1.
Как известно, степенной ряд сходится равномерно внутри области сходимости, поэтому его можно интегрировать почленно. Проинтегрируем данный ряд и найдем таким
образом разложение для . Константа, возникающая при
интегрировании, равна нулю, так как f(0) = 0.