- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 1
- •2. Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных рядов.
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 2
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 2
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 4
- •1. Понятие степенного ряда.
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 4
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 4
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 5
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 5
- •2. Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье.
- •5. Замкнутые и полные ортонормированные системы.
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 6
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 6
Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 1
Понятие равномерной сходимости
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1.Исследуйте на равномерную сходимость функциональную последовательность:
1.1. , а) x [1; + ∞); б) x [0; 1].
1.2.fn(x) = arctg(nx), x (0; + ∞)
1.3. , x (0; + ∞)
1.4. , x [0; 1]
2.Исследуйте на равномерную сходимость функциональный ряд:
2.1.
2.2.
ГЛАВА XIX. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. § 2
Признаки равномерной сходимости
Основные понятия
1. Критерии равномерной сходимости.
Теорема 1. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности. Для того чтобы функциональная последовательность {fn(x)}сходилась равномерно на множестве Х к некоторой функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы > 0 N():n > N,p −
натурального, выполнялось следующее условие: |fn+p(x) − fn(x)| < для x X.
Теорема 2. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда. Для того, чтобы функциональный ряд равномерно сходился к своей сумме необходимо и достаточно, чтобы > 0 N(): n > N,
p − натурального, выполнялось |Sn+p(x) − S(x)|= < для x X.
2. Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных рядов.
Определение 1. Числовой ряд называется мажорантным (или
мажорирующим) для функционального ряда на множестве X, если n, x X,
|un(x)| ≤ pn.
Теорема 3. Признак Вейерштрасса. Если для функционального ряда
на множестве Х существует мажорантный сходящийся числовой ряд , то
исходный функциональный ряд сходится равномерно на множестве Х.
Определение 2. Функциональная последовательность {fn(x)} называется равномерно ограниченной на множестве Х, если существует константа M такая, что n, x X:
|fn (x) | ≤ M.
Теорема 4. Признак Дирихле-Абеля. Рассмотрим ряд .
1. Пусть функциональная последовательность {bn(x)} не возрастает при каждом x X и сходится к нулю равномерно на множестве X (т.е. bn + 1(x) ≤ bn(x) x X, а также bn(x) монотонно стремится к нулю при n → ∞ на множестве X ).
2. Последовательность равномерно ограничена на множестве X
Тогда ряд сходится равномерно на множестве X.
Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 2
Признаки равномерной сходимости
Примеры решения задач
1.Исследуйте на равномерную сходимость ряд
.
Решение. Найдем мажорантный ряд для данного ряда. Действительно, , а
числовой ряд сходится. Следовательно, ряд сходится равномерно по
признаку Вейрштрасса.
2.Исследуйте на равномерную сходимость ряд на множестве
.
Решение. Обозначим . Последовательность {bk(x)} убывает,
тем самым первое условие теоремы о признаке равномерной сходимости Дирихле-Абеля оказывается выполненным. Воспользуемся оценкой:
при x ≠ 2m, m Z.
При сколь угодно малом > 0: x [; 2− ] выполняется соотношение
, следовательно, выполнено второе условие теоремы о признаке
равномерной сходимости Дирихле-Абеля, значит, исходный ряд равномерно сходится на [; 2− ].