- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 1
- •2. Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных рядов.
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 2
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 2
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 4
- •1. Понятие степенного ряда.
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 4
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 4
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 5
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 5
- •2. Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье.
- •5. Замкнутые и полные ортонормированные системы.
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 6
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 6
2. Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье.
Определение 2. Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на сегменте [ a, b ], если она непрерывна во всех точках сегмента [ a, b ] за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых она имеет разрыв первого рода.
Определение 3. Кусочно-непрерывная на сегменте [ a, b ] функция называется кусочно-гладкой на этом сегменте, если производная этой функции f ' (x) существует и непрерывна всюду на сегменте [ a, b ], за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых существует правый и левый пределы и .
Лемма 1. Об аппроксимации непрерывной на сегменте [ a,
b ] функции кусочно-гладкой функцией. Пусть функция f (x) непрерывна на сегменте [ a, b ]. Тогда для любого > 0 существует непрерывная, кусочно-гладкая функция l (x), такая, что для любого x из сегмента [ a, b ] выполняется условие |f (x) − l (x)| < , причём l (a) = f (a), l (b) = f (b).
Лемма 2. Если функция f (x) кусочно-непрерывна на сегменте [ a, b ], то
1) при → ∞ ,
2) при → ∞ .
Теорема 2. О поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Пусть f (x) – кусочно-гладкая функция на сегменте [ − ; ]. Тогда ряд
, где , ,
,
сходится в каждой точке x [ − ; ], и для его суммы S (x) справедливо равенство
1) ,
2) .
3. Комплексная форма ряда Фурье. Заметим, что
При этом
Таким образом,
, где .
Тем самым мы получили разложение функции f (x) по системе функций {einx}. Указанная система функций является ортогональной на сегменте [ − ; ], то есть
.
4. Понятие общего ряда Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Тригонометрический ряд Фурье является частичным случаем общего ряда Фурье. Рассмотрим пространство кусочно-непрерывных на сегменте [a, b] функций Q[a, b]. Будем предполагать, что в точке разрыва
.
Введём в пространстве Q[a, b] скалярное произведение (свёртку) двух функций,
. Имеет место неравенство Коши
(f, g)2 ≤ (f, f) · (g, g).
Определение 4. Линейное пространство называется нормированным, если каждому элементу f поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число − норма, || f ||, которая удовлетворяет следующим условиям:
1. || f || > 0, если f ≠ ; || f || = 0, если f = ,
2. || · f || = || · || f ||, для любого числа ,
3. f, g ||f + g|| ≤ ||f|| + ||g||.
В любом нормированном пространстве можно ввести метрику, т.е. расстояние между двумя элементами, по формуле
(f, g) = || f − g ||.
Во всяком евклидовом пространстве можно ввести норму
.
Определение 5. Последовательность элементов евклидова пространства
{n} называется ортонормированной, если её элементы попарно ортогональны, а норма каждого элемента равна единице.
Определение 6. Рядом Фурье элемента f по ортонормированной системе
{n} называется ряд , где fn = (f, n). Величины fn называются коэффициентами Фурье элемента f.
Если евклидово пространство имеет конечную размерность N, то система {n}, состоящая из N ортогональных элементов, норма каждого из которых равна единице, образует ортонормированный базис и любой элемент f такого пространства можно разложить по этому базису
.
В случае бесконечной размерности евклидова пространства актуален вопрос о сходимости ряда Фурье по метрике данного пространства. Назовем величину
частичной суммой ряда Фурье.
Наряду с Sn будем рассматривать линейные комбинации элементов ортонормированной системы
.
Теорема 3. При фиксированном n из всех сумм вида наименьшее
отклонение от элемента f по норме данного евклидова пространства имеет частичная сумма
.
Это свойство называют экстремальным свойством ряда Фурье.
Теорема 4. Для любого элемента f, для любой ортонормированной системы {n} и для любого n выполняется равенство (тождество Бесселя)
Теорема 5. Для любого элемента f, для любой ортонормированной системы {n} справедливо неравенство (неравенство Парсеваля)
.