4.5.6 Взаимно перпендикулярные плоскости.

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Для построения плоскости перпендикулярной к данной достаточно определить прямую линию ей перпендикулярную. Через перпендикуляр к плоскости можно провести множество плоскостей, перпендикулярных данной (рис. 4.20а).

Рис. 4.20а. Взаимно перпендикулярные плоскости.

Рассмотрим построение одной из плоскостей, перпендикулярной данной плоскости (c  d) (рис. 4.20б).

рис. 4.20б. Взаимно перпендикулярные плоскости.

Определим горизонталь hи фронтальданной плоскости. Из произвольной точкиKвосставим перпендикулярaна горизонтальной проекцииa₁h₁, а на фронтальной проекцииa₂₂. Дополним прямуюaдо плоскости пересекающейся с ней произвольной прямойb. Плоскость (ab) перпендикулярна плоскости (cd).

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Какими способами можно задать плоскость на чертеже?

2. Как можно перейти от любого способа задания плоскости к способу задания следами?

3. При каких условиях точка и прямая принадлежат плоскости?

4. Какие прямые линии в плоскости называются главными, и как они направлены?

5. Сформулируйте условия параллельности прямой линии плоскости и условия параллельности плоскостей.

6. Когда прямой угол между прямой линией и плоскостью проецируется в натуральную величину?

7. В каких случаях плоскости пересекаются по линиям частного положения:

   1. прямыми уровня;

   2. проецирующими прямыми.

8. Определите линию пересечения двух плоскостей, заданных параллельными прямыми (a || b) и пересекающимися прямыми (c || d) (задать самостоятельно).

9. Определите точку пересечения прямой (общего положения) с плоскостью (общего положения.)

Глава 5. Способы преобразования проекций

Преобразование проекций используется для наиболее выгодного изображения геометрических фигур при их исследовании и решение методических и позиционных задач. В итоге при преобразовании чертежа объекты занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Существуют несколько способов преобразования.

• способ замены плоскостей проекций.

• способ вращения вокруг проецирующих прямых и прямых уровня.

• способ плоскопараллельного перемещения.

Принципиальная разница первого способа (замены плоскостей проекций) в том, что объект не меняет своего положения в пространстве, а вводятся новые дополнительные плоскости проекций. При использовании способов вращения и плоскопараллельного перемещения – система плоскостей остаётся неизменной, а объект перемещается относительно системы плоскостей.

5.1 Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа замены плоскостей рассмотрим на примере. На (рис. 5.1). дана точка Ав системе плоскостей проекций₁/₂. Заменим одну из них, например₂, другой вертикальной плоскостью₄₁, т.е. перейдём к новой системе плоскостей проекций₄/₁. Определим новую фронтальную проекцию точкиА₄, использую для этого неизменность координатыZточкиА, т.к. горизонтальная плоскость проекций₁является общей для исходной и новой системы. На эпюре из горизонтальной проекцииА₁проведём линию связи, перпендикулярную к новой осиx₁₄и отложим координатуZточкиА.

Рис. 5.1. Способ замены плоскостей.

Способом замены плоскостей определяют натуральную величину прямой, плоскости, определяют расстояние между прямыми, плоскостями и т.д. При решении задач приходится менять последовательно либо одну, либо две плоскости проекций так, чтобы геометрические объекты оказались в частном положении относительно новой системы.

Рассмотрим задачи на преобразование прямой и плоскости:

Задача:Дана прямаяАВобщего положения (рис. 5.2). Преобразовать прямую АВ в проецирующую прямую.

Рис. 5.2.

Решение:Прямую общего положения возможно преобразовать в проецирующую прямую только двумя последовательными заменами плоскостей проекций. Т.к. плоскость проекций, перпендикулярная к прямой общего положения, не будет перпендикулярна не к₁, не к₂. Первоначально заменим плоскость проекций₂на₄(₁) параллельно прямойАВ, новая ось проекцийx₁₄||А₁В₁. Построим новую фронтальную проекциюА₄В₄, отложив неизменную координатуZ. ПрямаяАВпреобразована в новой системе₁/₄во фронталь,А₄В₄– натуральная величина отрезка прямой, а угол- угол наклона прямой к плоскости проекций₁. Затем заменим плоскость проекций₁на₅(₄) перпендикулярно прямойАВ, новая ось проекцийx₄₅А₄В₄. Построим новую горизонтальную проекциюА₅В₅, отложив неизменную координатуY, прямаяАВ, Выражается в точкуA₅B₅и является горизонтально – проецирующей прямой в новой системе плоскостей₄/₅.

Задача:Даны две параллельные прямые линииАВиСD(рис. 5.3). Определить расстояние между ними.

Рис. 5.3.

Решение:Чтобы определить расстояние между параллельными прямыми, необходимо преобразовать их в проецирующие прямые. Этого можно добиться двумя последовательными заменами плоскостей проекций. Первая замена плоскости проекций₁на₅параллельно данным прямым, новая ось проекцийХ₂₅||С₂D₂||А₂В₂. ПрямыеАВиСDпреобразованы в новой системе плоскостей проекций₂/₅в горизонтали. Вторая замена плоскости проекций₂на₄перпендикулярно прямымАВиСD, новая ось проекцийx₄₅С₅D₅(А₅В₅) На новую горизонтальную плоскость₅прямыеАВиСDпроецируются в точкиA₅B₅,C₅D₅. Измеряем расстояние между точками.

Задача:Дана плоскость, треугольникАВСобщего положения (рис. 5.4). Определить натуральную величину треугольникаАВС.

Рис. 5.4.

Решение:Чтобы определить натуральную величину плоскости, необходимо расположить её параллельно плоскости проекций. Плоскость общего положения невозможно сразу преобразовать в плоскость уровня, т.к. параллельная ей новая плоскость проекций не будет перпендикулярна ни к₁, ни к₂. Поэтому, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций, преобразовав данную плоскость сначала в проецирующую, а затем в плоскость уровня.

Заменим плоскость проекций ₂на₄перпендикулярно треугольникуАВС. Чтобы определить направление₄, проведём в треугольникеАВСгоризонтальh. Новая плоскость проекций₄будет перпендикулярна горизонтали, новая ось проекцийx₁₄h₁. На линии связи откладываем неизменные координатыZ_A,Z_B,Z_C. Новая фронтальная проекцияA₄B₄C₄в системе плоскостей₁/₂представляет собой прямую линию, плоскость (АВС) преобразована во фронтально проецирующую.

Затем заменим плоскость проекций ₁на плоскость₅параллельно треугольникуАВС, новая ось проекцийx₄₅||А₄В₄С₄, неизменной остаётся координатаY. В новой системе плоскостей₄/₅треугольникАВСявляется горизонтальной плоскостью уровня. Новая горизонтальная проекцияА₅В₅С₅– натуральная величина треугольникаАВС.