1.2. Центральное проецирование

Аппаратом центрального проецирования является плоскость проекции и центр проецирования точкаS, причемSне принадлежит. Сущность способа в том, что все проецирующие лучи исходят из центраS.

Рассмотрим ряд произвольных точек и определим их центральные проекции (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Центральное проецирование.

Для этого из центра Sчерез точки проведем проецирующие лучи до пересечения с плоскостью проекций.A_иB_ – проекции точекАиВна плоскость проекций.

Если для некоторой точки Кпроецирующий луч оказался параллелен плоскости проекций, то проекцияК_находится в несобственной точке, т.е.К_удалена в бесконечность.

1.3. Параллельное проецирование

Аппаратом параллельного проецирования является плоскость проекций и заданное направление проецированияs. Центр проецированияSудален в бесконечность. Сущность способа в том, что все проецирующие лучи параллельны друг другу. Параллельное проецирование является частным случаем центрального проецирования.

Определим параллельные проекции точек AиB(рис. 1.3а).

Для этого через точки параллельно направлению проецирования проведем проецирующие лучи до пересечения с плоскостью и найдем проекции точекA_иB_.

Обратим внимание, что каждой точке пространства соответствует проекция на плоскости. Однако каждой проекции на плоскости соответствует бесконечное множество точек пространства, т.е. проекция точки на плоскость не определяет ее положение в пространстве.

Рис. 1.3а. Параллельное проецирование.

Для однозначного определения точки в пространстве необходимо иметь два направления проецирования s₁иs₂(рис. 1.3б). Тогда две проекции на плоскостьA_1иА_2однозначно определяют ее положение в пространстве.

Рис. 1.3б. Параллельное проецирование.

1.4. Основные свойства параллельного проецирования

При проецировании между геометрическим объектом и его проекцией существует геометрическая взаимосвязь. Некоторые свойства оригинала сохраняются и на пропорции. Такие неизменные свойства называются инвариантными (независимыми).

Перечислим их без доказательства.

1. проекция точки есть точка.

2. Проекция прямой есть прямая (в общем случае).

3. Не изменяется взаимная принадлежность геометрических объектов и их проекций.

4. Проекции отрезков взаимно параллельных прямых параллельны.

5. Проекции точки пересечения линии есть точки пересечения проекций этих линий.

6. При прямоугольном проецировании прямой угол проецируется без искажения, если одна из его сторон параллельна плоскости проекции, а другая ей не принадлежит.

Глава 2. Точка

2.1. Ортогональная система двух плоскостей проекций. Эпюр Монжа

Ортогональное или прямоугольное проецирование является частным случаем параллельного (косоугольного) проецирования. Направление проецирующих лучей в ортогональном проецировании перпендикулярно плоскости проекций.

Метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости носит название метода Монжа. Гаспар Монж (1746 - 1818 г.) – француз, основоположник начертательной геометрии.

Зададим две взаимно перпендикулярные плоскости проекций ₁₂(рис. 2.1)₁– горизонтальная плоскость проекций,₂– фронтальная плоскость проекций. Линия пересечения плоскостей называетсяосью проекцийи обозначаетсях₁₂.

Рис. 2.1. Система 2^хплоскостей проекций.

Четыре двухгранных угла, на которые плоскости делят пространство, называются четвертями.

Спроецируем точку А, произвольно выбранную в первой четверти, в данной системе плоскостей проекций. Направление лучей проецированияs₁перпендикулярно₁иs₂перпендикулярно₂.А₁–горизонтальнаяпроекция точкиА,А₂–фронтальнаяпроекция точкиА. Проецирующие лучиАА₁иАА₂образуют плоскость, которая пересекает плоскость проекций по прямымА_хА₁иА_хА₂. Эти прямые перпендикулярны осиx₁₂и называютсялиниями проекционной связи.

Повернем плоскость ₁вокруг осиx₁₂до совмещения с₂на 90в направлении, указанном на чертеже (рис. 2.1). Получим одну плоскость – плоскость чертежа илиэпюр(фр. - чертеж) (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Эпюр точки.

Эпюромточки называется чертеж, на котором изображены две проекции точки, расположенные в проекционной связи.

Две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве. Если из проекции А₁иА₂восстановить перпендикуляры к плоскостям проекций, то точкаАопределится однозначно. ТочкаАв пространстве определена тремя координатамиx,y,z, которые можно измерять на эпюре.