Вопросы и задачи для самоконтроля

1. В чём сущность способа перемещения плоскостей проекций?

2. Сколько нужно выполнить последовательных преобразований и каких, чтобы определить натуральную величину плоскости общего положения?

3. Как движутся точки геометрического объекта при его вращении вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекции?

4. Сколько нужно выполнить последовательных вращений и каких, чтобы преобразовать прямую общего положения в проецирующую?

5. Определите расстояние между двумя параллельными прямыми общего положения способом плоскопараллельного перемещения?

6. Определите натуральную величину треугольника вращением вокруг фронтали.

Глава 6. Поверхности

6.1. Многогранные поверхности

6.1.1. Классификация многогранников

Многогранник- это замкнутая пространственная фигура, ограниченная плоскими многоугольниками (частями пересекающихся плоскостей).

Выпуклыемногоугольники - это такие у которых все вершины и ребра находятся по одну сторону любой из их граней.

Наибольший интерес представляют призмы, пирамиды и правильные выпуклые многоугольники - тела Платона.

Призма- многоугольник, две грани которого представляют собой равные многоугольники (основания призмы) со взаимно параллельными сторонами, все другие грани- параллелограммы (или прямоугольники).

Пирамида- многогранник, одна грань которого - многоугольник, а остальные грани треугольники с общей вершиной.

Тела Платона- многогранники, все грани которых представляют собой правильные и равные многоугольники. Углы при вершинах таких многоугольников равны между собой. Существует 5 типов правильных многогранников: гексаэдр (куб)- 6 квадратов, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр - 4, 8, 20 правильных треугольников, додекаэдр - 12 правильных пятиугольников.

6.1.2. Некоторые позиционные задачи пересечения многогранника с прямой и плоскостью

Плоскость пересекает многогранную поверхность по плоской замкнутой ломаной линии, называемой фигурой сечения. Вершины и стороны фигуры сечения определяются пересечением заданной плоскости соответственно с рёбрами и гранями многоугольника. То есть многократно решается задача или на пересечение двух плоскостей (граней многогранника с секущей плоскостью), или на пересечение прямой с плоскостью (рёбер многогранника с секущей плоскостью). Это уже известные задачи.

Задача: Дана треугольная наклонная пирамида и секущая фронтально проецирующая плоскость(рис. 6.1). Определить проекции фигуры сечения.

Рис. 6.1.

Решение: Так как секущая плоскость является фронтально проецирующей, то фронтальная проекция фигуры сечения (1₂2₂3₂) совпадет со следом плоскости₂. Фигура сечения является треугольником и определяется на пересечении следа плоскости с соответствующими ребрами пирамиды. По линиям связи определяем горизонтальные проекции вершин треугольника (1₁2₁3₁) на соответствующих ребрах пирамиды. Далее определяется видимость звеньев линии сечения в зависимости от видимости граней пирамиды на горизонтальной проекции.

Задача: Дана прямая треугольная призма и секущая плоскость общего положения Т (рис. 6.2). Определить проекции фигуры сечения.

Рис. 6.2. Пересечение многогранника плоскостью.

Решение:Так как боковые грани призмы являются горизонтально проецирующими плоскостями, то горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальной проекцией призмы (А₁В₁С₁)(1₁2₁3₁). Решение задачи сводится к определению второй проекции точек сечения, принадлежащих и плоскости Т и призме.

Для этого воспользуемся фронталями плоскости , проведенными через соответствующие точки 1₁В₁, 2₁А₁, 3₁С₁. Фронтальную проекцию фигуры сечения (1₂2₂3₂) определяем на пересечении фронтальных проекций фронталей с соответствующими рёбрами призмы.

Определяем видимость звеньев линии сечения.

Задача:Дана прямоугольная пирамида и секущая плоскость общего положения Т (рис. 6.3). Определить проекции фигуры сечения.

Рис. 6.3.

Решение:Ребра и грани пирамиды являются геометрическими объектами общего положения. Определим точки фигуры пересечения, решая несколько раз задачу на пересечение прямой с плоскостью (ребра пирамиды с секущей плоскостью). Для этого заключаем последовательно каждое ребро во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость: реброАS- в плоскость(₂А₂S₂), реброВS- в плоскость(₂В₂S₂), реброСS- в плоскость(₂С₂S₂). Определяем линию пересечения каждой вспомогательной плоскости с секущей плоскостью – линии (1₁2₁), (3₁4₁), (5₁6₁). На пересечении линий пересечения и проекций соответствующих ребер определяем искомые точки фигуры сечения (D₁E₁F₁), (D₂E₂F₂).

Задача:Дана прямоугольная пирамида и прямая общего положенияl(рис. 6.4). Определить точки пересечения прямой и пирамиды.

Решение:Так как прямаяl является прямой общего положения, задача решается аналогично задаче нахождение точки пересечения прямой и плоскости. Заключаем прямуюlво вспомогательную фронтально проецирующую плоскость(₂l₂). Строим сечение пирамиды вспомогательной плоскостью(аналогично задаче рис. 6.1). На пересечении горизонтальной проекции прямойl₁и контуром сечения (1₁2₁3₁) находим искомые точкиDиE. Определяем видимость прямой относительно точек пересечения с пирамидой.