2. Однородные уравнения

Так называются уравнения вида

Метод решения: а) переходим к новой неизвестной функции . Тогдаи уравнение (2) переписывается так:(*). А это уравнение с разделяющимися переменными.

б) Решаем вспомогательное уравнение (*). Пусть есть его общее решение.

в) Тогда -- общее решение исходного уравнения.

Пример (форма прожектора).Найдем форму прожектора. Нам нужно решить дифференциальное уравнение

Заменяя , получим, откуда. Интегрируя, получаем. Переносяuв право, и возводя в квадрат, имеем:

-- семейство парабол с фокусом в начале координат.

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Так называются уравнения вида

Если P(x),Q(x) непрерывны, то условия теоремы существования и единственности выполнены.

Метод решения

а) Решаем сначала уравнение без правой части как уравнение с разделяющимися переменными. Получаем общее решение в видеy(x)=Cu(x), где-- одна из первообразных функции.

б) Общее решение уравнения (4) ищем в виде y=C(x)u(x), гдеC(x) -- функция, подлежащая определению. Такой приём называется методом вариации постоянных.

в) Подставляя в (4), имеем:

Второе и третье слагаемые в левой части дают 0, ибо. Отсюда

г) Решая это уравнение, т.е. интегрируя, находим

д) Подставляя это в , получаем общее решение исходного уравнения.

Пример.Сила токав электрической цепи с омическим сопротивлениемRи коэффициентом самоиндукцииLудовлетворяет дифф. уравнению

где E-- электродвижущая сила. Найдём зависимостьj(t) при условии, что. Полагая сначалаE=0 находим, где. Тогда решение исходного уравнения ищем в виде. ФункциюC(t) находим из уравнения. Интеграл функцииравен(см. глава «Определенный интеграл», последний параграф). Отсюда

В частности, в установившемся режиме (время tвелико) амплитуда колебаний будет равна

При надо вместо уравнения (5) решать уравнение( закон Ома). Получаем

4. Уравнение в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением в дифференциалах. Заметим, что (1) действительно дифференциальное уравнение первого порядка, ибо оно может быть переписано для области D, в которойN(x,y)≠ 0 как. Наоборот, любое дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано в дифференциалах.

Уравнение (1) назовём уравнением в полных дифференциалах, если в рассматриваемой области существует функция , называемая потенциалом, дифференциал которой равен левой части уравнения, т.е.

Уравнение в полных дифференциалах может быть переписано в виде du(x,y)=0 общим решением которого являются эквипотенциальные кривые, задаваемые соотношениемu(x,y)=C. Докажем это. Пусть-- неявно заданная уравнениемфункция. Тогда. Вычисляя дифференциал левой и правой части, получим:, следовательно.

С другой стороны, пусть -- начальные условия. Тогда возьмем константуи определим функциюкак неявно заданную уравнением. Получим решение задачи Коши с заданными начальными условиями. Доказано, что– общее решение.

Теорема. Пусть непрерывны в некоторой односвязной областиD. Тогда (1) будет уравнением в полных дифференциалах в том и только том случае, когда в этой области выполнено условие

Доказательство части "и только том случае" следует из теоремы о смешанных производных:

Пусть верно (2). Ищем функцию из условия

.

Выберем начальную точку . Из первого уравнения системы (3), интегрируя на отрезкенаходим:. Тогда

Следовательно, второе уравнение системы (3) получает вид , откуда находим. Окончательно получаем формулу вычисления потенциала

Пример. Найдем общий интеграл уравненияВо-первых проверим, что это уравнение в полных дифференциалах

Возьмём . Тогда

Откуда -- общее решение в неявном виде.