Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тема 6 Основные теоремы анализа

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2015

Размер:

38.55 Кб

Скачать

☆

Тема 6 Основные теоремы анализа

Минимумы и максимумы

Пусть функция определена в окрестности точки . Точка называется точкой локального максимума, если для всех из достаточно малой окрестности точки . Если выполняется неравенство для всех из достаточно малой окрестности точки , то a называется точкой локального минимума. Точка локального минимума или локального максимума называется точкой локального экстремума.

Точек локального экстремума на заданном отрезке может быть сколь угодно много (в частности, бесконечно много). Значений в этих точках может быть также сколь угодно много. Но наибольшее (наименьшее) значение функции на заданном множестве может быть только одно. Каждая точка интервала, в которой достигается наибольшее значение (наименьшее значение) на этом интервале автоматически будет точкой локального максимума (локального минимума), но обратное неверно (см. рис.).

Теорема Ферма; необходимое условие экстремума. Пусть - точка локального экстремума функции , причем эта функция определена в окрестности точки и имеет в этой точке производную. Тогда

Доказательство. Предположим, что -- точка локального максимума. Тогда для имеем и . Следовательно, . Но этот правый предел совпадает с двусторонним пределом. Отсюда . Аналогично, рассматривая левый предел, т.е. налагая условие , получим, что . Из последних двух неравенств следует равенство . □

Теорема Ролля. Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , а в концах отрезка принимает одинаковое значение. Тогда найдется точка такая, что .

Доказательство. Пусть -- точки в которых функция достигает своих наименьшего и наибольшего значений (теорема Вейерштрасса). Если не является концевой точкой отрезка , то -- искомая точка по теореме Ферма.

Аналогично рассуждаем в случае, когда не является концевой точкой. Итак, осталось разобрать случай, когда обе точки -- концевые. Тогда , и поэтому функция постоянна на отрезке , ибо любое значение лежит между . В этом случае в качестве c можно взять любую точку интервала . □

Механический смысл теоремы Ролля: если материальная точка, двигаясь на оси, возвратилась в исходную точку, то найдется момент времени, в котором ее мгновенная скорость была равна нулю. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что если концы гладкой кривой лежат на одном и том же уровне относительно некоторой прямой, то найдется точка на этой кривой, касательная в которой параллельна заданной прямой.

Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Тогда найдется точка такая, что

или

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию и применим к ней теорему Ролля. Это можно сделать, так как . Тогда получаем точку с условием , т.е.

Механический смысл теоремы Лагранжа: -- если материальная точка движется на оси некоторый конечный отрезок времени, то найдется промежуточный момент времени, в котором ее мгновенная скорость была равна средней скорости. Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что если через концы гладкой кривой провести секущую ℓ , то найдется точка на этой кривой, касательная в которой параллельна прямой ℓ .

Обобщим теорему Лагранжа

Теорема Коши. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале (a,b), причем g'(x)≠ 0 для любой точки . Тогда найдется точка такая, что

Доказательство такое же как и у теоремы Лагранжа, но следует взять вспомогательную функцию .

Правило Лопиталя

Теорема. Пусть функции дифференцируемы в окрестности точки и . Предположим также, что в некоторой достаточно малой проколотой окрестности точки . Если существует предел отношения производных при , то существует предел отношения функций, и эти два предела совпадают:

Доказательство. Имеем

Здесь мы применили теорему Коши к отрезку и нашли точку .□

Правило Лопиталя для бесконечности. Пусть функции дифференцируемы для всех достаточно больших . Предположим также, что для всех достаточно больших . Если и существует предел отношения производных при , то существует предел отношения функций и эти два предела совпадают:

Аналогичный результат имеет место и для -∞ .

Замена сводит доказательство к случаю a=0 правила Лопиталя.

Правило Лопиталя для неопределенности ∞/∞ . Пусть функции дифференцируемы для всех достаточно больших . Предположим также, что для всех достаточно больших x. Если и существует предел отношения производных при x→ +∞ , то существует предел отношения функций и эти два предела совпадают (см (2)).

Аналогичный результат имеет место и для -∞ .

Замена дроби f/g на (1/g)/(1/f) сводит доказательство к предыдущему случаю.

Пример.

Сравнение степени возрастания показательных, степенных и логарифмических функций.

Для любого и для любого натурального n имеет место соотношение

а также соотношение

Для доказательства этих соотношений следует применить правило Лопиталя достаточно количество раз. Эти соотношения обобщаются на случай, когда -- любое действительное число.

Пример.

Формула Тейлора

Ставится задача приблизить (аппроксимировать) функцию в окрестности точки многочленом степени n. Для n=1 мы уже нашли решение: . Удобно точкой отсчета считать нулевую точку, т.е. от координат мы переходим к приращениям и . Ряд

представляется из себя семейство бесконечно малых величин, каждая последующая из которых есть б.м. большего порядка, чем предыдущая. Поставим задачу о разложении вида

где остаточный член есть б.м. высшего порядка по сравнению с . Деля (1) на и устремляя получаем . Найдем другие коэффициенты в этом разложении:

Локальная формула Тейлора. Пусть функция дифференцируема в окрестности точки n раз, и n-ая производная непрерывна в точке . Тогда

Доказательство. Применяем n раз правило Лопиталя к вычислению предела отношения

и доказываем, что этот предел равен 0.□

В условиях теоремы функция раскладывается в окрестности точки a в сумму многочлена степени ≤ n от переменной и остаточного члена , про который известно, что он есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению с .

Функция линейна по переменной , она называется дифференциалом в точке и обозначается Легко видеть, что . Мы получаем «симметричный» вид дифференциала вычисленный в произвольной точке:

Отсюда получаем, что производная равна отношению дифференциалов:

Аналогично, функция называется дифференциалом k-го порядка и обозначается . Ее симметричный вид есть . Тогда локальная формула Тейлора в дифференциалах принимает вид:

Уточним вид остаточного члена

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Пусть функция дифференцируема в окрестности точки n+1 раз. Тогда для всех достаточно близких к найдется точка такая, что

В частности, если

то имеет место следующая оценка остаточного члена:

Частный случай формулы Тейлора -- формула Маклорена получается при . Тогда при наличии n+1 производной в окрестности нуля, для каждого достаточно малого найдется такой, что