Число е

Теорема.Предел последовательностисуществует и заключен между числами 2 и 3.

Доказательство. Обозначим . Если вычислять значения последовательности, то видим, что

Видим, что эта последовательность возрастает и ограничена сверху числом 3, следовательно, по аксиоме о пределе монотонно возрастающей и ограниченной сверху последовательности эта последовательность имеет предел, причем он меньше либо равен 3 по свойству И.

Так как , то по свойствуИследует, что этот предел больше 2.□

Определение. Предел последовательностиобозначают e и называют основанием натуральных логарифмов или числом е.

Приближенное значение e≈2.718281828 (1828 -- год рождения Л.Н. Толстого). Чаще всего пользуются приближением e≈ 2.7.

Предел функции

В этом параграфе изучается важнейшее понятие анализа – предел функции.

Примеры

Составим таблицу значений функции при

	1.9	1.95	1.98	1.99	1.999
	3.9	3.95	3.98	3.99	3.999

Заметим, что значение мы подставить не можем, так как получим неопределенность. Тем не менее, понятно, что значения функцииприближаются к числу 4 по мере того, как значения аргумента приближаются к 2. Это станет совершенно очевидно, после сокращения. Правая часть здесь уже определена прии имеет значение 4. Иными словами, простым алгебраическим преобразованием мы раскрыли неопределенностьи вычислили предел функциипри.

Рассмотрим еще один пример: вычислим предел . Преобразуем

При неограниченном увеличении аргумента знаменательстановиться больше чем любое наперед заданное число. Так как, то получаем нулевое значение предела.

Определение и свойства предела функции.

Интервал называют δ-окрестностью точки(здесь δ >0). Она задается неравенством. Множествоназывают проколотой окрестностью точки. Она задается неравенством.

Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки. Число A называется пределом функциипристремящемся к, если чем ближе подходитктем меньше значение функцииотличается от своего предела. Мерой близостииможно считать. Однако мы не допускаем равенства, ибо функцияможет быть и неопределенной в точке.

Определение.Число A называется пределом функциипри, если для любого положительного𝜺, найдется число, зависящее от() такое, чтодля всехпринадлежащих проколотой δ-окрестности точки, т.е. таких, что.

Предел функции призаписывают как. Формально,

Теперь приведем определение пределов на бесконечности. Число A называется пределом функции при, если для любого положительного𝜺найдется число C такое, чтодля всехтаких, чтоПредел функциипризаписывают как.

Аналогично, число называется пределом функциипри(), если для любого положительного𝜺найдется C такое, чтодля всех, таких, что.

Пример функции и ее односторонних пределов справа и слева при.

Функция называется ограниченной в точке, если найдется такая окрестность этой точки и такая константа, чтодля всехиз этой окрестности.

Свойства пределов функций

LIM1. Константная функция имеет предел, равный этой же константе

Пусть существую пределы . Тогда

LIM2. Предел суммы существует и равен сумме пределов:.

LIM3. Предел произведения существует и равен произведению пределов:. В частности, константу можно выносить за знак предела.

LIM4. Предел отношения существует и равен отношению пределов в том случае, когда предел знаменателя отличен от 0.

Следующие свойства LIM5-LIM7 описывают предельный переход в неравенствах.

LIM5. Еслипри любом x из некоторой малой окрестности точки a, то и(при условии существования предела). Аналогично свойство имеет место для неравенства "≤ ".

Как следствие предыдущего свойства получаем монотонность предела:

LIM6. Предположим, чтодля любогоблизкого к a. Тогда ипри условии существования этих пределов.

Следующее свойство называется теоремой о пределе промежуточной функции

LIM7.Предположим, чтодля любогоиз некоторой проколотой окрестности точки. Предположим также, что пределыисуществуют и совпадают между собой. Тогда и предел промежуточной функцииприсуществует и совпадает с пределами крайних функций.

LIM8. (предел сложной функции) Предположим, что

• существует предел равный;

• существует предел .

Тогда существует предел сложной функции прии он равен A.

Доказательство. Фиксируем . Находимтакое, чтодля любого. Для этогонаходимтакое, что как только, то. Тогда и неравенствотакже будет выполнено для любого, удовлетворяющего неравенствам.□