- •Глава 1. Основные понятия теории электромагнитного поля
- •§ 1.1. Определение электромагнитного поля и его физических величин. Математический аппарат теории электромагнитного поля
- •Контрольные вопросы
- •Контрольные вопросы
- •§ 1.3. Источники электромагнитного поля
- •Контрольные вопросы
- •Пример применения matlab
- •§ 1.4. Пространственные дифференциальные операторы в теории электромагнитного поля
- •Интегральные теоремы
- •Контрольные вопросы
- •Пример применения matlab
- •§ 1.5. Основные законы теории электромагнитного поля Уравнения эмп в интегральной форме
- •Уравнения Максвелла для неподвижных сред
- •Соотношения между векторами поля и электрофизическими свойствами среды
- •Энергия электромагнитного поля
- •Контрольные вопросы
- •Примеры применения matlab
- •§ 1.6. Граничные условия для векторов эмп. Закон сохранения заряда. Теорема Умова-Пойнтинга Граничные условия для векторов эмп
- •Закон сохранения заряда
- •Граничные условия для плотности тока
- •Теорема Умова-Пойнтинга
- •Контрольные вопросы
- •Пример применения matlab
§ 1.6. Граничные условия для векторов эмп. Закон сохранения заряда. Теорема Умова-Пойнтинга Граничные условия для векторов эмп
Пусть некоторая поверхность Sразделяет среды 1 и 2 (рис. 2).
Рис. 2.
Рассмотрим некоторую точку на этой поверхности. Вектор единичной нормали к поверхности Sв этой точке направлен из среды 1 в среду 2. Тогда поведение векторовH,B,E,Dв этой точке, в соответствии с уравнениями Максвелла описываются следующим образом
,
где – поверхностная плотность тока, А/м.
Если = 0, тоH1t–H2t=0.
.
Если E2ct – E1ct = 0, то E2t – E1t = 0
, т. е.
или
Здесь обозначено: H1– вектор напряжённости магнитного поля на поверхности раздела сред в среде №1;H2– то же в среде №2;H1t– тангенциальная (касательная) составляющая вектора напряжённости магнитного поля на поверхности раздела сред в среде №1;H2t– то же в среде №2;E1вектор полной напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1;E2– то же в среде №2;E1c– сторонняя составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1;E2с– то же в среде №2;E1t– тангенциальная составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1;E2t– то же в среде №2;E1сt– тангенциальная сторонняя составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1;E2t– то же в среде №2;B1– вектор магнитной индукции на поверхности раздела сред в среде №1;B2– то же в среде №2;B1n– нормальная составляющая вектора магнитной индукции на поверхности раздела сред в среде №1;B2n– то же в среде №2;D1– вектор электрического смещения на поверхности раздела сред в среде №1;D2– то же в среде №2;D1n– нормальная составляющая вектора электрического смещения на поверхности раздела сред в среде №1;D2n– то же в среде №2;σ– поверхностная плотность электрического заряда на границе раздела сред, измеряемая в Кл/м2.
Закон сохранения заряда
Если отсутствуют сторонние источники тока, то
,
а в общем случае , т. е. вектор плотности полного тока не имеет истоков, т. е. линии полного тока всегда замкнуты
Это и есть закон сохранения заряда в дифференциальной форме
Подставляя, получим .
Это равенство выражает закон сохранения заряда в интегральной форме.
Граничные условия для плотности тока
, т. е.
Нормальная составляющая полной плотности тока всегда непрерывна. Если отсутствуют сторонние источники тока, то
.
Скачок нормальной составляющей плотности тока проводимости на поверхности раздела сред равен скорости изменения поверхностной плотности электрического заряда.
Теорема Умова-Пойнтинга
Объёмная плотность мощности, потребляемой материальной точкой в ЭМП, равна
(1)
Электромагнитная мощность, потребляемая внутри объёма Vравна
Эта мощность поступает в объем Vчерез замкнутую поверхностьSиз окружающего пространства, значит электромагнитная мощность, излучаемая объемомV в окружающее пространство, равно
(2)
В соответствии с тождеством (1)
Это и есть уравнение баланса мощностей для объема V. В общем случае в соответствии с равенством (3) электромагнитная мощность, генерируемая источниками внутри объемаV, идет на тепловые потери, на накопление энергии ЭМП и на излучение в окружающее пространство через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем.
Подынтегральное выражение в интеграле (2) называется вектором Пойнтинга:
,
где Пизмеряется в Вт/м2.
Этот вектор равен плотности потока электромагнитной мощности в некоторой точке наблюдения. Равенство (3) – есть математическое выражение теоремы Умова-Пойнтинга.
Электромагнитная мощность, излучаемая областью Vв окружающее пространство равна потоку вектора Пойнтинга через замкнутую поверхностьS, ограничивающую областьV.