Энергия электромагнитного поля

Объемная плотность энергии электрического поля равна

,

где W_э измеряется в Дж/м³.

Объемная плотность энергии магнитного поля равна

,

где W_мизмеряется в Дж/м³.

Объемная плотность энергии электромагнитного поля равна

.

В случае линейных электрических и магнитных свойств вещества объемная плотность энергии ЭМП равна

.

Это выражение справедливо для мгновенных значений удельной энергии и векторов ЭМП.

Удельная мощность тепловых потерь от токов проводимости

Удельная мощность сторонних источников

Контрольные вопросы

1. Как формулируется закон полного тока в интегральной форме?

2. Как формулируется закон электромагнитной индукции в интегральной форме?

3. Как формулируется теорема Гаусса и закон непрерывности магнитного потока в интегральной форме?

4. Как формулируется закон полного тока в дифференциальной форме?

5. Как формулируется закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме?

6. Как формулируется теорема Гаусса и закон непрерывности линий магнитной индукции в интегральной форме?

7. Какими соотношениями описываются электрофизические свойства вещества?

8. Как выражается энергия электромагнитного поля через векторные величины, его определяющие?

9. Как определяется удельная мощность тепловых потерь и удельная мощность сторонних источников?

Примеры применения matlab

Задача 1.

Дано: Внутри объёма тетраэдра магнитная индукция и намагниченность вещества изменяются по линейному закону. Координаты вершин тетраэдра заданы, значения векторов магнитной индукции и намагниченности вещества в вершинах также заданы.

Вычислитьплотность электрического тока в объёме тетраэдра, используяm-функцию, составленную при решении задачи в предыдущем параграфе. Вычисление выполнить в командном окнеMATLAB, предполагая, что пространственные координаты измеряются в миллиметрах, магнитная индукция – в теслах, напряжённость магнитного поля и намагниченность – в кА/м.

Решение.

Зададим исходные данные в формате, совместимом с m-функцией grad_div_rot:

>> nodes=5*rand(4,3)

nodes =

0.94827 2.7084 4.3001

0.96716 0.75436 4.2683

3.4111 3.4895 2.9678

1.5138 1.8919 2.4828

>> B=rand(4,3)*2.6-1.3

B =

1.0394 0.41659 0.088605

0.83624 -0.41088 0.59049

0.37677 -0.54671 -0.49585

0.82673 -0.4129 0.88009

>> mu0=4e-4*pi % абcолютнаq магнитнаq проницаемоcть вакуума, мкГн/мм

mu0 =

0.0012566

>> M=rand(4,3)*1800-900

M =

122.53 -99.216 822.32

-233.26 350.22 40.663

364.93 218.36 684.26

83.828 530.68 -588.68

>> [grad,div,cur_dens]=grad_div_rot(nodes,ones(4,1),B/mu0-M)

grad =

0 -3.0358e-017 0

div =

-712.01

cur_dens =

-914.2 527.76 -340.67

В данном примере вектор полной плотности тока в рассматриваемом объёме получился равным (-914.21_x+ 527.761_y– 340.671_z) А/мм². Чтобы определить модуль плотности тока, выполним следующий оператор:

>> cur_d=sqrt(cur_dens*cur_dens.')

cur_d =

1109.2

Вычисленное значение плотности тока не может быть получено в сильно намагниченных средах в реальных технических устройствах. Данный пример – чисто учебный. А теперь проверим корректность задания распределения магнитной индукции в объёме тетраэдра. Для этого выполним следующий оператор:

>> [grad,div,cur_dens]=grad_div_rot(nodes,ones(4,1),B)

grad =

0 -3.0358e-017 0

div =

-0.34415

cur_dens =

-0.38115 0.37114 -0.55567

Здесь мы получили значение divB= -0.34415 Тл/мм, чего не может быть в соответствии с законом непрерывности линий магнитной индукции в дифференциальной форме. Из этого следует, что распределение магнитной индукции в объёме тетраэдра задано некорректно.

Задача 2.

Пусть тетраэдр, координаты вершин которого заданы, находится в воздухе (единицы измерения – метры). Пусть заданы значения вектора напряжённости электрического поля в его вершинах (единицы измерения – кВ/м).

Требуетсявычислить объёмную плотность электрического заряда внутри тетраэдра.

Решениеможно выполнить аналогично:

>> nodes=3*rand(4,3)

nodes =

2.9392 2.2119 0.59741

0.81434 0.40956 0.89617

0.75699 0.03527 1.9843

2.6272 2.6817 0.85323

>> eps0=8.854e-3 % абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума, нФ/м

eps0 =

0.008854

>> E=20*rand(4,3)

E =

9.3845 8.4699 4.519

1.2956 10.31 11.596

19.767 6.679 15.207

11.656 8.6581 10.596

>> [grad,dens_z,rot]=grad_div_rot(nodes,ones(4,1),E*eps0)

grad =

2.2204e-016 0 0

dens_z =

0.10685

rot =

0.076467 0.21709 -0.015323

В данном примере объёмная плотность заряда получилась равной 0.10685 мкКл/м³.