Интегральные теоремы

Теорема о градиенте ;

Теорема о дивергенции

Теорема о роторе

В теории ЭМП применяется также ещё одна из интегральных теорем:

.

Контрольные вопросы

1. Что называется градиентом скалярного поля?

2. Что называется дивергенцией векторного поля?

3. Что называется ротором векторного поля?

4. Что такое оператор набла и как через него выражаются дифференциальные операторы первого порядка?

5. Какие интегральные теоремы справедливы для скалярных и векторных полей?

Пример применения matlab

Задача.

Дано: В объёме тетраэдра скалярное и векторное поля изменяются по линейному закону. Координаты вершин тетраэдра заданы матрицей вида [x₁,y₁,z₁;x₂,y₂,z₂;x₃,y₃,z₃;x₄,y₄,z₄]. Значения скалярного поля в вершинах заданы матрицей [Ф₁; Ф₂; Ф₃; Ф₄]. Декартовы компоненты векторного поля в вершинах заданы матрицей [F_1x,F_1y,F_1z;F_2x,F_2y,F_2z;F_3x,F_3y,F_3z;F_4x,F_4y,F_4z].

Определитьв объёме тетраэдра градиент скалярного поля, а также дивергенцию и ротор векторного поля. Составить для этого функциюMATLAB.

Решение. Ниже приведён текстm-функции.

% grad_div_rot - Вычисление градиента, дивергенции и ротора ... в объёме тетраэдра

% [grad,div,rot]=grad_div_rot(nodes,scalar,vector)

% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

% nodes - матрица координат вершин тетраэдра:

% строкам соответствуют вершины, столбцам - координаты;

% scalar - столбцовая матрица значений скалярного поля в вершинах;

% vector - матрица компонентов векторного поля в вершинах:

% строкам соответствуют вершины, столбцам - декартовы компоненты.

% ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

% grad - матрица-строка декартовых компонентов градиента скалярного поля;

% div - значение дивергенции векторного поля в объёме тетраэдра;

% rot - матрица-строка декартовых компонентов ротора векторного поля.

%

% При вычислениях предполагается, что в объёме тетраэдра

% векторное и скалярное поля изменяются в пространстве по линейному закону.

function [grad,div,rot]=grad_div_rot(nodes,scalar,vector);

a=inv([ones(4,1) nodes]); % Матрица коэффициентов линейной интерполяции

grad=(a(2:end,:)*scalar).'; % Компоненты градиента скалярного поля

div=[a(2,:) a(3,:) a(4,:)]*vector(:); % Дивергенция векторного поля

rot=sum(cross(a(2:end,:),vector.'),2).';

Пример запуска разработанной m-функции:

>> nodes=10*rand(4,3)

nodes =

3.5287 2.0277 1.9881

8.1317 1.9872 0.15274

0.098613 6.0379 7.4679

1.3889 2.7219 4.451

>> scalar=rand(4,1)

scalar =

0.93181

0.46599

0.41865

0.84622

>> vector=rand(4,3)

vector =

0.52515 0.01964 0.50281

0.20265 0.68128 0.70947

0.67214 0.37948 0.42889

0.83812 0.8318 0.30462

>> [grad,div,rot]=grad_div_rot(nodes,scalar,vector)

grad =

-0.16983 -0.03922 -0.17125

div =

-1.0112

rot =

-0.91808 0.20057 0.78844

Если предположить, что пространственные координаты измеряются в метрах, а векторное и скалярное поля – безразмерные, то в данном примере получилось:

grad Ф = (-0.169831_x - 0.039221_y - 0.171251_z) м^-1;

div F = -1.0112 м^-1;

rotF= (-0.918081_x+ 0.200571_y+ 0.788441_z) м^-1.