§ 1.5. Основные законы теории электромагнитного поля Уравнения эмп в интегральной форме

Закон полного тока:

или

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль контура l равна полному электрическому току, протекающему через поверхностьS, натянутую на контурl, если направление тока образуют с направлением обхода контура правовинтовую систему.

Закон электромагнитной индукции:

,

где E_c– напряженность стороннего электрического поля.

ЭДС электромагнитной индукции e_ив контуреl равна скорости изменения магнитного потока через поверхностьS, натянутую на контурl, причем направление скорости изменения магнитного потока образует с направлениемe_и левовинтовую систему.

Теорема Гаусса в интегральной форме:

Поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность Sравен сумме свободных электрических зарядов в объёме, ограниченном поверхностьюS.

Закон непрерывности линий магнитной индукции:

Магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Непосредственное применение уравнений в интегральной форме позволяет производить расчет простейших электромагнитных полей. Для расчета электромагнитных полей более сложной формы применяют уравнения в дифференциальной форме. Эти уравнения называются уравнениями Максвелла.

Уравнения Максвелла для неподвижных сред

Эти уравнения непосредственно следуют из соответствующих уравнений в интегральной форме и из математических определений пространственных дифференциальных операторов.

Закон полного тока в дифференциальной форме:

,

где ,

– плотность полного электрического тока,

– плотность стороннего электрического тока,

– плотность тока проводимости,

– плотность тока смещения:,

– плотность тока переноса:.

Это означает, что электрический ток является вихревым источником векторного поля напряженности магнитного поля.

Закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме:

Это означает, что переменное магнитное поле является вихревым источником для пространственного распределения вектора напряженности электрического поля.

Уравнение непрерывности линий магнитной индукции:

Это означает, что поле вектора магнитной индукции не имеет истоков, т.е. в природе не существует магнитных зарядов (магнитных монополей).

Теорема Гаусса в дифференциальной форме:

Это означает, что истоками векторного поля электрического смещения являются электрические заряды.

Для обеспечения единственности решения задачи анализа ЭМП необходимо дополнить уравнения Максвелла уравнениями материальной связи между векторами EиD, а такжеBиH.

Соотношения между векторами поля и электрофизическими свойствами среды

Известно, что

(1)

Все диэлектрики поляризуются под действием электрического поля. Все магнетики намагничиваются под действием магнитного поля. Статические диэлектрические свойства вещества могут быть полностью описаны функциональной зависимостью вектора поляризованности Pот вектора напряженности электрического поляE(P=P(E)). Статические магнитные свойства вещества могут быть полностью описаны функциональной зависимостью вектора намагниченностиMот вектора напряженности магнитного поляH(M=M(H)). В общем случае такие зависимости носят неоднозначный (гистерезисный) характер. Это означает, что вектор поляризованности или намагниченности в точкеQопределяется не только значением вектораE илиHв этой точке, но и предысторией изменения вектораEилиHв этой точке. Экспериментально исследовать и моделировать эти зависимости чрезвычайно сложно. Поэтому на практике часто предполагают, что векторыPиE, а такжеMиHколлинеарны, и электрофизические свойства вещества описывают скалярными гистерезисными функциями (|P|=|P|(|E|), |M|=|M|(|H|). Если гистерезисными характеристиками вышеназванных функций можно пренебречь, то электрофизические свойства описывают однозначными функциямиP=P(E),M=M(H).

Во многих случаях эти функции приближенно можно считать линейными, т.е.

, (2)

где – диэлектрическая восприимчивость;– магнитная восприимчивость вещества.

Если учесть остаточную поляризованность P_rсегнетоэлектрика или остаточную намагниченностьM_rферромагнетика, то

(3)

Тогда с учетом соотношения (1) можно записать следующее

, (4)

где ;

,– соответственно относительная диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества:

–абсолютная диэлектрическая проницаемость вещества:

–абсолютная магнитная проницаемость вещества:

Соотношения (2), (3), (4) характеризуют диэлектрические и магнитные свойства вещества. Электропроводящие свойства вещества могут быть описаны законом Ома в дифференциальной форме

,

где – удельная электрическая проводимость вещества, измеряемая в См/м.

В более общем случае зависимость между плотностью тока проводимости и вектором напряженности электрического поля носит нелинейный векторно–гистерезисный характер.