- •Глава 4. Магнитостатическое поле
- •§ 4.1. Основные законы магнитостатики Уравнения магнитостатического поля в интегральной и дифференциальной формах
- •Граничные условия для векторов магнитного поля
- •Векторные уравнения Пуассона и Лапласа
- •Краевая задача магнитостатики для неоднородных сред
- •Векторная краевая задача магнитостатики в пакетах расширения matlab
- •Магнитное поле элемента тока
- •Контрольные вопросы
- •§ 4.2. Интегральные параметры магнитостатического поля Выражение магнитного потока и энергии магнитного поля через векторный поренциал
- •Потокосцепление. Собственная и взаимная индуктивности
- •Вычисление взаимной индуктивности круглых и прямоугольных контуров в системе matlab
- •Контрольные вопросы
- •§ 4.3. Частные случаи плоскопараллельных магнитных полей постоянных токов Распределение векторного потенциала в случае одиночного провода круглого сечения
- •Магнитное поле и индуктивность двухпроводной линии
- •Магнитное поле и индуктивность коаксиального кабеля
- •Вычисление магнитного поля коаксиального кабеля в системе matlab
- •Магнитное поле цилиндрической катушки
- •Расчёт распределения напряжённости магнитного поля на оси многослойной цилиндрической катушки в системе matlab
- •Контрольные вопросы
- •§ 4.4. Скалярный магнитный потенциал Скалярная краевая задача анализа магнитостатического поля
- •Моделирование магнитостатического поля цилиндрической катушки в pde Toolbox matlab
- •Магнитное экранирование
- •Пространственные интегральные уравнения в магнитостатике
- •Контрольные вопросы
- •§ 4.5. Мощность, передаваемая по двухпроводной линии постоянного тока
- •Контрольные вопросы
Глава 4. Магнитостатическое поле
______________________________________________________________________
______________________________________________
§ 4.1. Основные законы магнитостатики Уравнения магнитостатического поля в интегральной и дифференциальной формах
Закон полного тока в интегральной форме:
(1)
Циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром интегрирования, причем положительными считаются токи, направления которых образуют правовинтовую систему с направлением обхода контура.
Закон непрерывности магнитного потока:
(2)
Магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это означает, что линии вектора магнитной индукции всегда замкнуты, т.е. не имеют начала и конца.
Из уравнения (1) и из математического определения ротора векторного поля следует закон полного тока в дифференциальной форме:
(3)
Уравнение (3) записано в предположении, что при анализе магнитостатического поля все электрические токи можно считать сторонними.
Из уравнения (2) и из математического определения дивергенции векторного поля следует закон непрерывности линий магнитной индукции в дифференциальной форме.
(4)
Этот закон свидетельствует о соленоидальном характере поля вектора B: не существует магнитных зарядов, которые служили бы истоками или стоками векторного поля магнитной индукции.
Истоками векторного поля Hявляются стоки векторного поля намагниченности веществаM, что следует из уравнения (4).
Области пространства, где div H 0 называют магнитными полюсами. Если в некоторой областиdiv H > 0, то она называется северным магнитным полюсом. Если в некоторой области div H < 0, то она называется южным магнитным полюсом.
Уравнение материальной связи между векторами B и H, дополняющее уравнения (3) и (4), в линеаризованном виде может быть записано так:
или , (5)
где – удельное магнитное сопротивление вещества. В случае линейных магнитных свойств вещества объемная плотность энергии магнитного поля определяется по формуле:
.
Граничные условия для векторов магнитного поля
На поверхности раздела сред, где илиBrизменяются скачком, имеют место следующие граничные условия для векторовBиH:
Скачок тангенциальной составляющей вектора Hравен поверхностной плотности тока на границе раздела сред. Если, то тангенциальная составляющая вектораHнепрерывна.
Нормальная составляющая вектора магнитной индукции на любой поверхности раздела сред непрерывна:
B1n=B2n
Векторные уравнения Пуассона и Лапласа
Из уравнения (4) следует, что векторное поле Bможно представить в виде ротора некоторого векторного поля:
B = rot A (6)
Здесь векторное поле A называется векторным магнитным потенциалом.
Подставив (6) в (5), а затем (5) в (3), получим
(7)
(7) является уравнением магнитостатического поля относительно векторного магнитного потенциала.
Для обеспечения единственности решения этого уравнения кроме граничных условий необходимо ввести условие калибровки, накладывающее ограничение на дивергенцию векторного магнитного потенциала. Наиболее простым условием является div A = 0. Преобразуем уравнение (7) с учетом этой калибровки. Для этого левую часть (7) запишем в виде:
или
Поскольку div A = 0, из левой части (7) можно вычесть, значит (7) преобразуется к виду:
(8)
(8) называется векторным уравнением Штурма-Луивиля. Это уравнение пригодно для расчета магнитостатических полей в однородных и кусочно-однородных средах, причем на поверхностях раздела сред выполняется условие A1t = A2t, т.е. тангенциальная составляющая векторного магнитного потенциала непрерывна. В областях, где = соnst, можно вынести за знак дифференциальных операторов, тогда уравнение (8) примет вид:
(9)
В областях, где δ = 0 и Br = 0, распределение векторного потенциала описывается уравнением:
(10)
(9) называется уравнением Пуассона, а (10) – векторным уравнением Лапласа.
В декартовой системе координат уравнение (9), а значит и (10) распадается на три независимых скалярных уравнения: