Глава 2. Электростатическое поле

______________________________________________________________________

______________________________________________

§ 2.1. Основные уравнения электростатики

Электростатическим называют постоянное поле неподвижных электрических зарядов. Источниками электростатического поля являются свободные электрические заряды и электрические диполи. В электростатическом поле отсутствует сторонняя составляющая напряженности электрического поля E_c.

В соответствии со сказанным уравнения электростатики в интегральной форме имеют вид

Уравнения электростатики в дифференциальной форме

(1)

В случае линейных изотропных диэлектрических свойств среды уравнение материальной связи между векторами E и D имеет вид:

(2)

Граничные условия для векторов электростатического поля

На поверхности раздела сред, где илиP_r изменяются скачком, справедливы следующие соотношения

На поверхности проводящего тела

Тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля непрерывна на любой поверхности раздела сред.

Скачок нормальной составляющей вектора электрического смещения равен поверхностной плотности электрических зарядов.

Скалярный электрический потенциал. Краевая задача анализа электростатического поля

Поле вектора E является безвихревым, поэтому его можно представить в виде градиента некоторого скалярного поля

, (3)

–скалярный электрический потенциал.

Подставив соотношение (3) в (2), а затем (2) в (1), получим

или

(4)

Уравнение (4) является уравнением электростатики относительно скалярного электрического потенциала. Это уравнение является основой для постановки краевой задачи анализа электростатического поля.

Для обеспечения единственности решения уравнения (4) необходимо дополнить его граничными условиями для искомого потенциала или для нормальной составляющей вектора электрического смещения на поверхности, ограничивающей расчетную область, т.е.

= поверхностное распределение – на части граничной поверхности Г₁,

D_n = поверхностное распределение – на части граничной поверхности Г₂,

Г = Г₁ + Г₂ – замкнутая граничная поверхность.

Первое граничное условие называется граничным условием первого рода (иногда его называют граничным условием Дирихле). Второе граничное условие называется граничным условием второго рода (иногда его называют граничным условием Неймана).

Если задавать только граничные условия Неймана, то единственность решения будет обеспечена только с точностью до постоянной (однородной) составляющей скалярного поля .

В случае однородного распределения диэлектрической проницаемости среды и вектора остаточной поляризованности среды уравнение (4) может быть записано в виде

или (5)

Если в расчетной области свободные заряды отсутствуют, то

или (6)

(5) называется уравнением Пуассона, (6) называется уравнением Лапласа. Для уравнений (5) и (6) граничное условие Неймана может задаваться в виде распределения нормальной производной скалярного электрического потенциала на части граничной поверхности Г₂.

Скалярная краевая задача электростатики в пакетах расширения matlab

В системе MATLAB имеются пакеты расширения, предназначенные для решения скалярных краевых задач, основанных на уравнениях вида (4). В практике инженерных расчётов чаще всего решаются двумерные и трёхмерные задачи электростатики. При двумерном моделировании можно рассчитывать плоскопараллельные и осесимметричные поля (поля многопроводных систем: кабельных и воздушных линий и коридоров линий). Двумерный вариант уравнения (4) без учёта векторного поля остаточной поляризованности вещества может решаться средствами PDE Toolbox MATLAB (продукт фирмы MathWorks).

Электростатические задачи могут решаться также в системе конечноэлементных расчётов FEMLAB, которая также представляет собой пакет расширения MATLAB, но не входит в стандартную комплектацию MATLAB и поставляется отдельно. Разработчик этого пакета – шведская фирма Comsol.

Применительно к задачам электростатики FEMLAB отличается от PDE Toolbox тем, что в FEMLAB есть возможность учесть распределение вектора остаточной поляризованности вещества, есть также возможность решать трёхмерные задачи. В системе FEMLAB есть средства расчёта интегральных параметров поля: зарядов, напряжений, энергии поля, ёмкостных коэффициентов и др.