Энергия системы заряженных проводников

Энергия электростатического поля системы заряженных проводников равна

, т.к. с ростом радиуса замкнутой поверхности произведение убывает быстрее, чем растет площадь поверхности (в наихудшем случае произведениеявляется бесконечно малой величиной третьего порядка, а площадь поверхности интегрирования – бесконечно большой величиной второго порядка).

(7)

–потенциал i-го – проводника, q_i – заряд i-го – проводника.

Формула (7) справедлива, если . В противном случае формула (7) справедлива, если(сумма зарядов всех тел системы равна нулю).

Понятие о методе изображений

При анализе электростатических полей обычно требуется определить распределение векторов E, D а также распределение скалярного электрического потенциала, если известны форма и расположение проводников и диэлектриков и неоднородные граничные условия:

а) потенциалы проводников;

б) суммарный заряд каждого проводника, потенциал которого неизвестен.

Решение, удовлетворяющее уравнению (4) и вышеназванным граничным условиям, является единственным.

Из этой теоремы, которую называют теоремой единственности, вытекают два важных следствия.

Следствие 1. Электрическое поле (и соответствующее ему решение) в некотором объеме, ограниченном равнопотенциальными поверхностями, не изменится, если эти поверхности станут проводящими, т.е. превратятся в границы проводников, которым сообщены соответствующие потенциалы.

Следствие 2. Электростатическое поле по одну сторону от поверхности S (не обязательно равнопотенциальной) не изменяется, если по другую сторону этой поверхности изменить параметры среды и распределение зарядов так, чтобы сохранились граничные условия на поверхности S.

Вновь распределенные заряды называются изображениями преобразованных зарядов, а основанный на таком преобразовании метод расчета – методом изображений.

Оба следствия из теоремы о единственности позволяют значительно расширить область применения интегральных форм уравнений электростатики для расчета полей.

Фундаментальное решение уравнений Пуассона и Лапласа

Фундаментальным решением этих уравнений является частное решение, соответствующее распределению скалярного электрического потенциала в бесконечной линейной однородной среде вокруг точечного электрического заряда при открытых граничных условиях :

,

где R – расстояние между точечным зарядом и точкой наблюдения. Если в расчетной области известно распределение объемных и поверхностных зарядов, а также вектора диэлектрической поляризованности вещества, то распределение скалярного электрического потенциала может быть определено по формуле

(8)

Как правило, при анализе сложных электростатических полей распределение зарядов и поляризованности вещества неизвестно, поэтому прямое применение формулы (8) невозможно. В этом случае формула (8) используется в качестве основы для построения интегральных методов анализа электростатических полей.

Контрольные вопросы

1. Что такое электростатическое поле?

2. Какой вид имеют уравнения электростатики в интегральной и дифференциальной форме?

3. Какими выражениями описываются граничные условия для векторов электростатического поля на поверхностях раздела сред?

4. Какой вид имеет уравнение электростатики относительно скалярного электрического потенциала?

5. Как формулируется краевая задача анализа электростатического поля?

6. Чему равна энергия системы заряженных проводников?

7. Как формулируются следствия из теоремы о единственности решения краевой задачи электростатики относительно скалярного электрического потенциала?

8. Что является фундаментальным решением уравнений Пуассона и Лапласа для электростатического поля?

9. На каком соотношении основываются интегральные методы анализа электростатических полей?