Расчёт цилиндрического электромагнитного экрана с использованием pde Toolbox matlab

Переменное гармоническое электромагнитное поле в системе с цилиндрическим электромагнитным экраном описывается эллиптическим PDE в комплексной форме:

, (7)

где – комплексное действующее значениеz- составляющей напряжённости электрического поля; c = ()^–0.5 = 2.9979*10⁸ м/с – скорость света в вакууме; Z_в = (/)^0.5 = 376,7 Ом – волновое сопротивление вакуума; – удельная электрическая проводимость вещества. Краевая задача, основанная на уравнении (7), является стандартной дляGUI-приложения PDETool, поэтому написание своего сценария не требуется.

Для запуска PDETool и прорисовки геометрии выполним следующую последовательность команд: pdeinit pderect([-8 8 -6 6],'R1') pdecirc(0,0,4,'C1') pdecirc(0,0,3,'C2') pderect([-1.5 1.5 1 1.5],'R2') pderect([-1.5 1.5 -1 -1.5],'R3') Это означает, что расчётная область – прямоугольник (1612)мм; экран с внутренним радиусом 3 мм и наружным радиусом 4 мм; области ‘R2’ и ‘R3’ – сечения измерительной обмотки, в которой наводится ЭДС электромагнитной индукции, подаваемая на электронный вольтметр. Пусть везде =1,=0,=1, частота=2*2*pi рад/мс, а в экране=5,6*10⁴ См/мм (т.е. экран медный). Источником электромагнитного поля являются граничные условия Дирихле: на прямых y=6мм E=10мкВ/мм. На прямых x=8мм заданы нулевые граничные условия Неймана.

Для вычисления ЭДС в измерительной обмотке экспортируем сетку и решение PDE в рабочую область MATLAB и выполним следующую последовательность команд: ut=pdeintrp(p,t,u); ar=pdetrg(p,t); eds=ut(t(4,:)==4)*ar(t(4,:)==4).'/sum(ar(t(4,:)==4)); eds=eds-ut(t(4,:)==3)*ar(t(4,:)==3).'/sum(ar(t(4,:)==3)) eds = 1.8332 - 2.3397i [abs(eds) angle(eds)*180/pi] ans = 2.9723 -51.92 Приведённые числовые данные означают следующее: действующее значение синусной составляющей ЭДС равно 1.8332мкВ/(ммвиток), косинусной составляющей равно –2.3397мкВ/(ммвиток), действующее значение ЭДС (вольтметр покажет) 2.9723мкВ/(ммвиток), а её запаздывание по фазе относительно сторонней ЭДС на границе расчётной области составляет 51.92.

На рис. 4 показано распределение действующего значения синусной составляющей напряжённости электрического поля (а заодно и линий синусной составляющей магнитной индукции). На рис. 5 – то же для косинусной составляющей. На рис. 6 – распределение действующего значения напряжённости электрического поля. Как видно, экранирующее действие основано на поверхностном эффекте.

Рис. 4. Распределение синусной составляющей напряжённости поля

Рис. 5. Распределение косинусной составляющей напряжённости поля

Рис. 6. Распределение действующего значения напряжённости поля

Теперь посчитаем ЭДС в обмотке при отсутствии экрана. Для этого в PDETool решим уравнение (7) при =0 везде и экспортируем решение в рабочую область MATLAB. Затем выполним последовательность команд: ut=pdeintrp(p,t,u); eds=ut(t(4,:)==4)*ar(t(4,:)==4).'/sum(ar(t(4,:)==4)); eds=eds-ut(t(4,:)==3)*ar(t(4,:)==3).'/sum(ar(t(4,:)==3)) eds = 4.1667 kekr=eds/(1.8332-2.3397i) kekr = 0.86457 + 1.1034i [abs(kekr) angle(kekr)*180/pi] ans = 1.4018 51.921 Приведённые числовые данные означают, что «экспериментальная» эффективность экранирования равна 1.4018.

Теперь для интереса посчитаем эффективность экранирования стального экрана, у которого =120,=10⁴ См/мм, магнитный гистерезис не учитываем. ut=pdeintrp(p,t,u); eds=ut(t(4,:)==4)*ar(t(4,:)==4).'/sum(ar(t(4,:)==4)); eds=eds-ut(t(4,:)==3)*ar(t(4,:)==3).'/sum(ar(t(4,:)==3)) eds = 2.4709e-006 -1.9731e-005i [abs(eds) angle(eds)*180/pi] ans = 1.9885e-005 -82.862 4.1667/abs(eds) % Это эффективность экранирования. ans = 2.0953e+005

Ниже приведён текст m-файла вычислительной модели цилиндрического электромагнитного экрана. Этот файл стандартным образом загружается в GUI-приложение PDETool.

function pdemodel

[pde_fig,ax]=pdeinit;

pdetool('appl_cb',7);

set(ax,'DataAspectRatio',[1 1 1]);

set(ax,'PlotBoxAspectRatio',[9 6 1]);

set(ax,'XLim',[-9 9]);

set(ax,'YLim',[-6 6]);

set(ax,'XTickMode','auto');

set(ax,'YTickMode','auto');

pdetool('gridon','on');

% Geometry description:

pderect([-8 8 -6 6],'R1');

pdecirc(0,0,4,'C1');

pdecirc(0,0,3,'C2');

pderect([-1.5 1.5 1 1.5],'R2');

pderect([-1.5 1.5 -1 -1.5],'R3');

set(findobj(get(pde_fig,'Children'),'Tag','PDEEval'),'String','R1+C1+C2+R2+R3')

% Boundary conditions:

pdetool('changemode',0)

pdesetbd(5,...

'dir',...

1,...

'1',...

'-10')

pdesetbd(4,...

'neu',...

1,...

'0',...

'0')

pdesetbd(2,...

'dir',...

1,...

'1',...

'10')

pdesetbd(1,...

'neu',...

1,...

'0',...

'0')

% Mesh generation:

setuprop(pde_fig,'Hgrad',1.3);

setuprop(pde_fig,'refinemethod','regular');

pdetool('initmesh')

pdetool('refine')

pdetool('refine')

% PDE coefficients:

pdeseteq(1,...

'1./(1.0)!1./(1.0)!1./(1.0)!1./(1.0)!1./(120)',...

'sqrt(-1)*(2*2*pi/3E8).*(0.0)-(2*2*pi/3E8).*(2*2*pi/3E8).*(1.0)!sqrt(-1)*(2*2*pi/3E8).*(0.0)-(2*2*pi/3E8).*(2*2*pi/3E8).*(1.0)!sqrt(-1)*(2*2*pi/3E8).*(0.0)-(2*2*pi/3E8).*(2*2*pi/3E8).*(1.0)!sqrt(-1)*(2*2*pi/3E8).*(0.0)-(2*2*pi/3E8).*(2*2*pi/3E8).*(1.0)!sqrt(-1)*(2*2*pi/3E8).*(5.6E4*376.7)-(2*2*pi/3E8).*(2*2*pi/3E8).*(1.0)',...

'0.0!0.0!0.0!0.0!0.0',...

'1.0!1.0!1.0!1.0!1.0',...

'0:10',...

'0.0',...

'0.0',...

'[0 100]')

setuprop(pde_fig,'currparam',...

['2*2*pi/3E8!2*2*pi/3E8!2*2*pi/3E8!2*2*pi/3E8!2*2*pi/3E8';...

'1.0!1.0!1.0!1.0!120 ';...

'0.0!0.0!0.0!0.0!5.6E4*376.7 ';...

'1.0!1.0!1.0!1.0!1.0 '])

% Solve parameters:

setuprop(pde_fig,'solveparam',...

str2mat('0','12288','10','pdeadworst',...

'0.5','longest','0','1E-4','','fixed','Inf'))

% Plotflags and user data strings:

setuprop(pde_fig,'plotflags',[6 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1]);

setuprop(pde_fig,'colstring','abs(u)');

setuprop(pde_fig,'arrowstring','');

setuprop(pde_fig,'deformstring','');

setuprop(pde_fig,'heightstring','');

% Solve PDE:

pdetool('solve')