Магнитное поле цилиндрической катушки

Напряженность магнитного поля на оси однослойной цилиндрической катушки вычисляется на основании закона Био - Савара

dH = (IdlxR)/(4πR³).

Выделим в катушке круговой виток с током I и найдем напряженность поля в точке на оси этого витка и катушки (рис. 4)

Рис. 4.

Для любой точки на оси витка векторы dl и R перпендикулярны, поэтому

dH = (Idl)/(4πR²).

Аналогичной формулой определяется вектор dH ^, обусловленный током I в элементе dl ^. Нормальные к оси х составляющие этих векторов взаимно компенсируются, а составляющие по оси х, равные sindH, складываются. Напряженность H, обусловленная током I в круговом витке

H =

Так как a/R = sinβ, то

H(1)

Определим напряженность магнитного поля в точке на оси однослойной цилиндрической катушки длиной l, имеющей W витков радиуса а (рис. 5).

Рис. 5.

Элемент длины dλ этой катушки является круговым контуром с током

.

В соответствии с формулой (1) определим напряженность магнитного поля, созданную этим круговым контуром с током,

dH.

Напряженность H, созданная током во всей катушке,

H = .

Так как (x – λ)/a = ctg β, dλ/a = dβ/sin²β, поэтому

H = , (2)

где

Формулу (2) для расчета напряженности магнитного поля на оси однослойной катушки можно применить и для многослойных катушек, суммируя напряженности H_k в фиксированной точке на оси от каждого слоя с переменным радиусом a_k. В пределе это соответствует интегрированию выражения (2) от внутреннего до наружного радиуса и делению полученного результата на толщину слоя обмотки.

Расчёт распределения напряжённости магнитного поля на оси многослойной цилиндрической катушки в системе matlab

Ниже приведён текст m-функции, вычисляющей это распределение при единичном значении намагничивающей силы обмотки. Операторы, переведённые в комментарии – результат аналитического интегрирования с помощью функций Symbolic Math Toolbox.

% katu_H - Вычисление напрqжённости магнитного полq на оси цилиндрической катушки

% x - перечень координат x;

% l - длина катушки;

% rvn - внутренний радиус катушки;

% rn - наружный радиус катушки.

% Полученный результат нужно умножать на намагничивающую силу

function H=katu_H(x,l,rvn,rn)

% h1=(x+l/2).*(asinh(rn./abs(x+l/2))-asinh(rvn./abs(x+l/2)));

h1=(x+0.5*l).*log((rn+sqrt(rn^2+(x+0.5*l).^2))./(rvn+sqrt(rvn^2+(x+0.5*l).^2)));

% h2=(x-l/2).*(asinh(rn./abs(x-l/2))-asinh(rvn./abs(x-l/2)));

h2=(x-0.5*l).*log((rn+sqrt(rn^2+(x-0.5*l).^2))./(rvn+sqrt(rvn^2+(x-0.5*l).^2)));

H=(h1-h2)/2/l/(rn-rvn);

С помощью этой функции вычислим и построим график распределения напряжённости магнитного поля на оси катушки длиной 0.32 м, с внутренним радиусом 0.03 м и наружным радиусом 0.06 м, если ток равен 2.5 А, число витков равно 3672.

>> H=2.5*3672*katu_h([0:0.001:0.3],0.32,0.03,0.06);

>> plot(0:0.001:0.3,H)

>> grid on

Контрольные вопросы

1. По каким формулам может быть рассчитано распределение векторного потенциала вокруг одиночного прямолинейного провода круглого сечения?

2. По каким формулам может быть рассчитано распределение векторного потенциала двухпроводной линии?

3. По каким формулам могут быть рассчитаны энергия магнитного поля и индуктивность двухпроводной линии?

4. На каких соотношениях базируется расчёт магнитного поля коаксиального кабеля?

5. Какие соотношения определяют распределение токов в многослойной жиле и оболочке коаксиального кабеля?

6. По каким формулам рассчитывается распределение напряжённости магнитного поля в слоях коаксиального кабеля?

7. По какой формуле рассчитывается внешняя индуктивность кабеля на единицу длины?

8. Какой формулой описывается распределение напряжённости магнитного поля на оси круглого контура с током?

9. Какой формулой описывается распределение напряжённости магнитного поля на оси бесконечно тонкой однослойной катушки с током?