Контрольные вопросы

1. Как выражается магнитный поток через векторный потенциал?

2. Как выражается энергия магнитостатического поля через векторный потенциал?

3. Что такое магнитное потокосцепление и как с ним связана ЭДС электромагнитной индукции?

4. Что такое индуктивность контура и как она связана с энергией магнитного поля?

5. Что такое взаимная индуктивность двух контуров?

6. По какой формуле вычисляется взаимная индуктивность двух контуров, находящихся в бесконечной однородной среде?

§ 4.3. Частные случаи плоскопараллельных магнитных полей постоянных токов Распределение векторного потенциала в случае одиночного провода круглого сечения

Рис. 1.

Пусть по проводу радиуса а проходит ток I (рис. 1). Во всех окружающих точках и внутри провода абсолютная магнитная проницаемость равна μ_a; M_r = 0.

Пусть точка наблюдения Q лежит вне провода, на расстоянии ra. Тогда по закону полного тока:

H(Q) = 1_α H_α = 1_α H_e = 1_α I/(2πr)

B_e = B_α = μ_aI/(2πr)

B = rot A

B_α = rot_α A =

значит, для внешнего магнитного поля (ra) можно записать:

A_e = A_α = –B_e dr = –μ_aI/(2πr)dr = – μ_aI/(2π)ln (r) + C_e

Плотность тока внутри провода равна

δ = 1_z δ_z = 1_z I/(πa²)

Через поверхность, натянутую на окружность радиуса ra с центром на оси провода, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси провода, протекает ток

I(r) = δπr² = Ir²/a²,

значит, напряженность магнитного поля внутри провода равна

H_i = I(r)/(2πr) = Ir/(2πa²),

а магнитная индукция

B_i = μ_aIr/(2πa²)

Векторный потенциал внутри провода

A_i = –B_idr = – μ_aIr²/(4πa²) + C_i

Значение одной из постоянных интегрирования C_i или C_e можно выбрать произвольно, другую же нужно подобрать так, чтобы была обеспечена непрерывность распределения векторного потенциала: A_i= A_e, при r=a.

Окончательно получаем:

A_e(r)= – μ_aI/(2π)ln (r),

A_i = μ_aI/(4π) – μ_aI/(2π)ln (a) – μ_aIr²/(2πa²)

Вне провода распределение векторного потенциала не зависит от радиуса провода.

Магнитное поле и индуктивность двухпроводной линии

Рис. 2.

В случае двух параллельных цилиндров одинакового диаметра 2а с токами I₁ = I, I₂ = – I (рис. 2) результирующий векторный потенциал внешнего магнитного поля равен

A_e (Q) = A_e1 + A_e2 = – μ_aI₁/(2π) ln (r₁) – μ_aI₂/(2π)ln (r₂)

A_e (Q) = μ_aI/(2π) ln (r₂/r₁)

Принимая A_e = соnst, можно получить уравнение магнитных линий внешнего поля, т. е. r₂/r₁ = K_e.

Для точек, расположенных внутри сечения первого провода, результирующий векторный потенциал равен

A_i = A_i1 + A_e2 = μ_aI/(4π) – μ_aI/(2π)ln (a) – μ_aI r₁²/(4πa²) + μ_aI/(2π) ln (r₂)

Принимая A_i = const, можно получить уравнение магнитных линий внутреннего поля

r₂ = K_iexp (r₁²/2a²)

Для точек, расположенных внутри сечения второго провода, результирующий векторный потенциал равен

A_i = A_i2 + A_e1 = – μ_aI/(4π) + μ_aI/(2π) ln(a) + μ_aIr₂²/(4πa²) – μ_aI/(2π) ln(r₁)

Энергию магнитного поля двухпроводной линии можно определить по формуле (2)

W_м = 0,5δAdV,

где V – объем, занимаемый двумя проводниками линии на участке длиной l; векторы δ и A коллинеарны и направлены вдоль оси z, поэтому

δA = δA

Распределение векторного потенциала внутри второго провода противоположно распределению векторного потенциала внутри первого провода, поэтому интегрировать можно только по объему первого проводника и полученный интеграл удвоить

W_м =δAdV = lδAdS = lδArdαdr

где α и r – полярные (цилиндрические) координаты точки наблюдения относительно центра первого провода. Проведя математические выкладки, можно доказать следующие соотношения:

• энергия магнитного поля на единицу длины линии:

= μ_aI²/(2π)(ln(d/a) + 0,25)

• индуктивность на единицу длины линии:

= μ_a/(π)(ln(d/a) + 0,25)