Глава 5. Переменное гармоническое электромагнитное поле

______________________________________________________________________

______________________________________________

§ 5.1. Основные уравнения электромагнитного поля в комплексной форме. Гармоническое электромагнитное поле. Основные понятия и определения

Электромагнитное поле, в котором токи, заряды, потенциалы и составляющие векторов меняются по гармоническому закону с одной и той же заданной частотой, называется гармоническим электромагнитным полем.Для анализа таких полей целесообразно использовать метод комплексных амплитуд, который применяется в теории цепей синусоидального тока. Пусть в декартовой системе координат задан некоторый векторN(Q,t), составляющие которого меняются по гармоническому закону с одинаковой частотой

N(Q,t) = 1_xN_xm(Q) sin(ωt+α) + 1_yN_ym(Q) sin(ωt+β) +1_zN_zm(Q) sin(ωt+γ) (1)

Амплитуды и начальные фазы составляющих могут быть функциями пространственных координат, но не зависят от времени. При совпадении фаз всех трех составляющих вектор будет меняться по закону синуса, не меняя направления в пространстве. В этом случае говорят, что вектор N(Q,t) линейно поляризован. В общем случае, когда αβγ, вектор будет вращаться в пространстве, описывая при этом эллипс. В этом случае говорят, что вектор N(Q,t) эллиптически поляризован.

Комплексной амплитудой вектора N(Q,t) будем называть векторное значение, определяемое выражением

С учетом введенного обозначения выражение (1) можно записать в виде

N(Q,t) = 1/(2j)() (2)

Комплексным действующим значением вектора Nбудем называть выражение

С учетом этого обозначения выражение (2) для мгновенного значения вектора можно записать в виде

()

Уравнения Максвелла в комплексной форме

Векторы (Q)и (Q)являются комплексными представлениями гармонически изменяющегося вектора N(Q,t). Используя свойства комплексных представлений, можно из уравнений Максвелла в пространственно-временной форме получить уравнение Максвелла в комплексной (пространственно-частотной) форме. Запишем эти уравнения для действующих значений векторов электромагнитного поля

rot=, где =++, = jω

(3)

rot() = – jω, div= 0, div=

Система уравнений (3) дополняется уравнениями материальной связи, которые в линеаризованном виде записываются следующим образом

= μ_a, = ε_a,= γ (4)

Теорема Умова-Пойнтинга в комплексной форме

Объемная плотность комплексной мощности, потребляемой материальной точкой в гармоническом ЭМП, равна

= ()+ jω·= ()rot – rot() =

= – div(())

Комплексная мощность, потребляемая объемом V, равна

–div(())dV = –(())dS

Используя соотношения (3) и (4), можно доказать, что

–(())dS =γE²dV – ( – ) dV +((jω)^*+jω)dV = p_тdV – dV + jω(μ_aH_m²/2 + ε_aE_m²/2)dV = P_т – + 2jω(W_{м ср} – W_{э ср}) =

= (P_т – P_ист) + j(Q_эм – Q_ист) (5)

(5) – это уравнение баланса активных и реактивных мощностей для объема V. Уравнение (5) иначе называют теоремой Умова-Пойнтинга в комплексной форме. Левая часть уравнения (5), содержащая поверхностный интеграл, равна комплексной электромагнитной мощности, поглощаемой объемом V из окружающего пространства.

Иначе уравнение (5) можно записать так:

=P_ист + jQ_ист = P_т + jQ_эм + ,

–комплексная мощность, излучаемая объемом V в окружающее пространство.

Комплексная форма теоремы Умова-Пойнтинга имеет важное практическое значение. Ее используют при расчете электромагнитных излучателей и направляющих систем в радиоэлектронной аппаратуре. Пользуясь уравнением (5), можно определить внутреннее активное и реактивное сопротивление проводника, если в результате анализа ЭМП известно поверхностное распределение комплексных действующих значений напряженностей электрического и магнитного поля.

–()dS = (r + jx)I²