Глава 4. Магнитостатическое поле

______________________________________________________________________

______________________________________________

§ 4.1. Основные законы магнитостатики Уравнения магнитостатического поля в интегральной и дифференциальной формах

Закон полного тока в интегральной форме:

Hdl = I (1)

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром интегрирования, причем положительными считаются токи, направления которых образуют правовинтовую систему с направлением обхода контура.

Закон непрерывности магнитного потока:

BdS = 0 (2)

Магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это означает, что линии вектора магнитной индукции всегда замкнуты, т.е. не имеют начала и конца.

Из уравнения (1) и из математического определения ротора векторного поля следует закон полного тока в дифференциальной форме:

rot H = δ (3)

Уравнение (3) записано в предположении, что при анализе магнитостатического поля все электрические токи можно считать сторонними.

Из уравнения (2) и из математического определения дивергенции векторного поля следует закон непрерывности линий магнитной индукции в дифференциальной форме.

div B = 0 (4)

Этот закон свидетельствует о соленоидальном характере поля вектора B: не существует магнитных зарядов, которые служили бы истоками или стоками векторного поля магнитной индукции.

B = μ₀( H + M )

div H = – div M

Истоками векторного поля Hявляются стоки векторного поля намагниченности веществаM, что следует из уравнения (4).

Области пространства, где div H 0 называют магнитными полюсами. Если в некоторой областиdiv H > 0, то она называется северным магнитным полюсом. Если в некоторой области div H < 0, то она называется южным магнитным полюсом.

Уравнение материальной связи между векторами B и H, дополняющее уравнения (3) и (4), в линеаризованном виде может быть записано так:

B = μ_aH + B_r или H = ν_a( B – B_r ), (5)

где ν_a = μ_a^{– 1} – удельное магнитное сопротивление вещества. В случае линейных магнитных свойств вещества объемная плотность энергии магнитного поля определяется по формуле:

w_м = (BH)/2 = (μ_aH²)/2 = (ν_aB²)/2

Граничные условия для векторов магнитного поля

На поверхности раздела сред, где _aилиB_rизменяются скачком, имеют место следующие граничные условия для векторовBиH:

(H₁ – H₂ )n = τ

Скачок тангенциальной составляющей вектора Hравен поверхностной плотности тока на границе раздела сред. Еслиτ= 0, то тангенциальная составляющая вектораHнепрерывна.

Нормальная составляющая вектора магнитной индукции на любой поверхности раздела сред непрерывна:

B_1n=B_2n

Векторные уравнения Пуассона и Лапласа

Из уравнения (4) следует, что векторное поле Bможно представить в виде ротора некоторого векторного поля:

B = rot A (6)

Здесь векторное поле A называется векторным магнитным потенциалом.

Подставив (6) в (5), а затем (5) в (3), получим

rot (ν_a rot A ) = δ + rot (ν_aB_r) (7)

(7) является уравнением магнитостатического поля относительно векторного магнитного потенциала.

Для обеспечения единственности решения этого уравнения кроме граничных условий необходимо ввести условие калибровки, накладывающее ограничение на дивергенцию векторного магнитного потенциала. Наиболее простым условием является divA = 0. Преобразуем уравнение (7) с учетом этой калибровки. Для этого левую часть (7) запишем в виде:

rot (ν_a rot A ) = grad (ν_a div A ) – (ν_a)A

или rot (ν_a rot A ) – grad (ν_a div A ) = – (ν_a)A

Поскольку div A = 0 из левой части (7) можно вычесть grad (ν_a div A), значит (7) преобразуется к виду:

– (ν_a)A = δ + rot (ν_aB_r) (8)

(8) называется векторным уравнением Штурма-Луивиля. Это уравнение пригодно для расчета магнитостатических полей в однородных и кусочно-однородных средах, причем на поверхностях раздела сред выполняется условие A_1t = A_2t, т.е. тангенциальная составляющая векторного магнитного потенциала непрерывна. В областях, где ν_a = соnst, ν_a можно вынести за знак дифференциальных операторов, тогда уравнение (8) примет вид:

² A = – μ_aδ – rot B_r (9)

В областях, где δ = 0 и B_r = 0, распределение векторного потенциала описывается уравнением:

² A = 0 (10)

(9) называется уравнением Пуассона, а (10) – векторным уравнением Лапласа.

В декартовой системе координат уравнение (9), а значит и (10) распадается на три независимых скалярных уравнения: