Глава 2. Электростатическое поле

______________________________________________________________________

______________________________________________

§ 2.1. Основные уравнения электростатики

Электростатическим называют постоянное поле неподвижных электрических зарядов. Источниками электростатического поля являются свободные электрические заряды и электрические диполи. В электростатическом поле отсутствует сторонняя составляющая напряженности электрического поля E_c.

В соответствии со сказанным уравнения электростатики в интегральной форме имеют вид

Edl = 0

DdS = q = ρdV

Уравнения электростатики в дифференциальной форме

rot E = 0; div D = ρ (1)

В случае линейных изотропных диэлектрических свойств среды уравнение материальной связи между векторами E и D имеет вид:

D = ε_aE + P_r. (2)

Граничные условия для векторов электростатического поля

На поверхности раздела сред, где ε_a или P_r изменяются скачком, справедливы следующие соотношения

E_1t = E_2t; D_2n – D_1n = σ

На поверхности проводящего тела

E_t= 0;D_n=σ

Тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля непрерывна на любой поверхности раздела сред.

Скачок нормальной составляющей вектора электрического смещения равен поверхностной плотности электрических зарядов.

Скалярный электрический потенциал. Краевая задача анализа электростатического поля

Поле вектора E является безвихревым, поэтому его можно представить в виде градиента некоторого скалярного поля

E = – grad φ, (3)

φ – скалярный электрический потенциал.

Подставив соотношение (3) в (2), а затем (2) в (1), получим

div (ε_agrad φ – P_r) = – ρ

или

div (ε_a grad φ) = – ρ + divP_r (4)

Уравнение (4) является уравнением электростатики относительно скалярного электрического потенциала. Это уравнение является основой для постановки краевой задачи анализа электростатического поля.

Для обеспечения единственности решения уравнения (4) необходимо дополнить его граничными условиями для искомого потенциала или для нормальной составляющей вектора электрического смещения на поверхности, ограничивающей расчетную область, т.е.

φ = поверхностное распределение – на части граничной поверхности Г₁,

D_n = поверхностное распределение – на части граничной поверхности Г₂,

Г = Г₁ + Г₂ – замкнутая граничная поверхность.

Первое граничное условие называется граничным условием первого рода (иногда его называют граничным условием Дирихле). Второе граничное условие называется граничным условием второго рода (иногда его называют граничным условием Неймана).

Если задавать только граничные условия Неймана, то единственность решения будет обеспечена только с точностью до постоянной (однородной) составляющей скалярного поля φ.

В случае однородного распределения диэлектрической проницаемости среды и вектора остаточной поляризованности среды уравнение (4) может быть записано в виде

div grad φ = – ρ/ε_a или φ = – ρ/ε_a (5)

Если в расчетной области свободные заряды отсутствуют, то

div grad φ = 0 или φ = 0 (6)

(5) называется уравнением Пуассона, (6) называется уравнением Лапласа. Для уравнений (5) и (6) граничное условие Неймана может задаваться в виде распределения нормальной производной скалярного электрического потенциала на части граничной поверхности Г₂.