Поверхностный эффект в проводящей пластине

Рис. 2.

Пусть внешний источник ЭМП создает в пластине магнитный поток на единицу длины (рис. 2), тогда вектор во всех точках x будет иметь одну составляющую .

Будем считать, что (a) =(–a), тогда в соответствии с уравнением (3)

=(a); =(a);

(a) =(a);

Во многих технических приложениях величину называют эффективной абсолютной магнитной проницаемостью пластины или пакета пластин.

–это тангенс угла магнитных потерь энергии в магнитопроводе, изготовленном в виде пакета пластин.

Применяя теорему Умова-Пойнтинга, можно доказать, что средняя объемная плотность мощности потерь энергии на вихревые токи при перемагничивании такого пакета равна

p_B =

или

p_B =

В более общем виде:

Это комплексная мощность, потребляемая единицей длины листа (в направлении оси y) шириной h (в направлении оси x), толщиной 2a.

Вычислительный сценарий расчёта поверхностного эффекта в плоской пластине

Ниже приведён текст вычислительного сценария расчёта поверхностного эффекта.

% PLASTINA - Расчёт гармонического электромагнитного полq в плоской проводqщей пластине

%

% Входные данные: mu - проницаемость; f - частота; gam - уд.проводимость;

% a - половина толщины пластины; h - ширина пластины;

% Fm - амплитуда магнитного потока.

if exist('mu','var'), smu=num2str(mu); else smu='100'; end

if exist('f','var'), sf=num2str(f); else sf='50'; end

if exist('gam','var'), sgam=num2str(gam); else sgam='1E7'; end

if exist('a','var'), sa=num2str(a); else sa='5E-4'; end

if exist('h','var'), sh=num2str(h); else sh='5E-2'; end

if exist('Fm','var'), sFm=num2str(Fm); else sFm='5E-6'; end

SS=inputdlg({'mu','f','gam','a','h','Fm'},...

'Ввод исходных данных',1,{smu,sf,sgam,sa,sh,sFm});

%[mu,f,gam,a,h,Fm]=eval(SS);

mu=eval(SS{1}); f=eval(SS{2}); gam=eval(SS{3}); a=eval(SS{4}); h=eval(SS{5}); Fm=eval(SS{6});

disp(['mu=',num2str(mu),'; f=',num2str(f),'; gam=',num2str(gam),'; a=',num2str(a),'; h=',num2str(h),'; Fm=',num2str(Fm)])

mu0=4e-7*pi;

om=2*pi*f;

p=sqrt(j*om*gam*mu0*mu);

muef=mu*tanh(p*a)/p/a% Эффективная комплексная магнитная проницаемость

tandm=-imag(muef)/real(muef) % Эффективный тангенс угла магнитных потерь

Bmsr=Fm/2/a/h% Среднее значение магнитной индукции по сечению пластины

Bmya=Bmsr*p*a/tanh(p*a) % Комплексная магнитная индукция на поверхности

Bmy0=Bmya/cosh(p*a) % То же в середине пластины

b=real(p);

dPv_dy=om*b*abs(Fm)^2/4/mu0/mu/h*(sinh(b*2*a)-sin(b*2*a))/(cosh(b*2*a)-cos(b*2*a))

% Здесь активная мощность тепловых потерь на единицу длины пластины

Поверхностный эффект в круглом проводе

Пусть по прямолинейному проводу круглого сечения радиуса а протекает комплексный ток (рис. 3).

Рис. 3.

(a) = (a) = /(2a) (3)

= 1_z; rot= γ; ;

(4)

rot=

(5)

Если из (5) выразить и подставить в (4), то получим

(6)

Введем обозначение

q = ()^0,5 = ()= K

Тогда уравнение (6) примет вид:

(7)

Если обе части уравнения (4) продифференцировать по r и подставить туда (5), то в соответствии с введенным обозначением получим:

(8)

Уравнения (7), (8) являются частными случаями уравнения Бесселя

,

частные решения, которого y= J_n(x) называются функциями Бесселя n - го порядка. Для вычисления эти функции могут быть записаны в виде:

При r[0;a] || является возрастающей функцией. Это означает, что действующее значение напряженности электрического поля и плотности тока убывает от поверхности провода к его оси. В этом и сказывается поверхностный эффект в круглом проводе. Поверхностный эффект приводит к тому, что с ростом частоты тока возрастает активное сопротивление провода на единицу длины и уменьшается внутренняя индуктивность провода на единицу длины.

Комплексное сопротивление провода на единицу длины равно: