Краевая задача магнитостатики для неоднородных сред

Для расчета магнитостатического поля в неоднородной среде необходима другая модификация уравнения (7) с учетом условия калибровки, Если из левой части (7) вычесть grad(ν_a'divA), где ν_a' – удельное магнитное сопротивление среды, занимающей наибольший объем в расчетной области, тогда получим:

rot ((ν_a – ν_a') rot A ) – (ν_a')A = δ + rot (ν_aB_r) (11)

Уравнение (11) позволяет представлять магнитостатическое поле в неоднородной среде непрерывным полем векторного магнитного потенциала. Это дает возможность применять конечноразностные и конечноэлементные методы без существенных ограничений.

Для обеспечения единственности решения уравнения (11) его необходимо дополнить граничными условиями для искомого потенциала или для тангенциальной составляющей вектора напряженности магнитного поля на поверхности, ограничивающей расчетную область, т.е.

A = поверхностное распределение – на части граничной поверхности Г₁,

H_t = поверхностное распределение – на части граничной поверхности Г₂

Г = Г₁ + Г₂ – замкнутая граничная поверхность.

При анализе и моделировании магнитостатических полей необходимо учитывать, что аналогия уравнений магнитостатического и электростатического поля имеет место только в простейших случаях.

Векторная краевая задача магнитостатики в пакетах расширения matlab

Прикладные режимы решения уравнения магнитостатики относительно векторного магнитного потенциала есть в PDE Toolbox и в FEMLAB. В PDE Toolbox можно решать только двумерную задачу без учёта остаточной магнитной индукции или намагниченности, причём все токи должны протекать перпендикулярно плоскости расчётной области. В этом случае условие калибровки не требуется и уравнение (7) естественным образом сводится к виду (8), причём в этом уравнении остаётся только z-составляющая векторного потенциала. Это означает, что в математическом смысле двумерная векторная краевая задача магнитостатики является скалярной (в уравнении остаётся только одна скалярная зависимая переменная). В PDE Toolbox двумерное уравнение (8) без учёта остаточной магнитной индукции решается как обычное эллиптическое уравнение, причём можно произвольно задавать неоднородное распределение магнитной проницаемости в расчётной области. Анизотропия магнитных свойств вещества в явном виде не поддерживается прикладным режимом, однако анизотропию задать можно, выполнив необходимые математические выкладки.

В системе FEMLAB есть двумерные и трёхмерные прикладные режимы магнитостатики. Во всех этих режимах в качестве первичных источников учитываются и токи, и остаточная намагниченность вещества. Математически двумерные прикладные режимы FEMLAB с перпендикулярным протеканием токов отличаются от соответствующего прикладного режима PDE Toolbox только учётом остаточной намагниченности. Следует, однако, учитывать, что в строку редактирования Magnetization нужно вписывать остаточную намагниченность, делённую на относительную магнитную проницаемость (это вытекает из уравнений (7), (8)). В системе FEMLAB есть также двумерные режимы моделирования, в которых токи текут параллельно плоскости расчётной области.

Трёхмерные магнитостатические режимы моделирования базируются непосредственно на уравнении (7). В пакете FEMLAB калибровка векторного магнитного потенциала не применяется, и, тем не менее, при правильном задании граничных условий Дирихле и Неймана получается единственное решение краевой задачи. В системе FEMLAB магнитостатических прикладных режимов два: один в ядре, другой в модуле Электромагнетизма. Последний режим поддерживает явное задание анизотропных магнитных свойств вещества.