4. 2.4.4 Поиск корней уравнений в Mathcad

Mathcad 2000 представляет ряд дополнительных возможностей для поиска корней уравнений. Функция root(f(var1, var2, ...),var1, [a, b]) имеет теперь два необязательных аргумента a и b, которые определяют границы интервала, на котором следует искать корень. На концах интервала [a,b] функция f должна менять знак (f(a)f(b)<0). Задавать начальное приближение для корня не нужно. В данном варианте функция root использует алгоритм Риддера и Брента. Продемонстрируем использование расширенного варианта поиска корней на примере функции

Для оценки местоположения корней построим график этой функции

Рис. 5. График функции

На интервале [1,8] функция имеет два корня. Mathcad 2000 смог найти только один из них.

Дополнительные возможности появились и для нахождения корней полиномов. Функция polyroots может использовать два различных алгоритма поиска корней – метод Лагерра и метод сопровождающей матрицы. Переключение методов осуществляется в контекстном меню, которое вызывается нажатием правой кнопки мыши, когда указатель установлен на имя функции.

8. 2.5 Блок-схемы

Метод половинного деления

Метод простой итерации

Задание 1.

1. Отделить минимальный по модулю корень уравнения и уточнить его методом половинного деления с точностью 0,001.

2. Отделить минимальный по модулю корень уравнения и уточнить его методом хорд с точностью 0,001.

3. Отделить минимальный по модулю корень уравнения и уточнить его методом Ньютона с точностью 0,001.

4. Отделить минимальный по модулю корень уравнения и уточнить его комбинированным методом с точностью 0,001.

Образец выполнения задания

1. Уточнить с точностью до =10^-2 корень х[-2;-1] уравнения х³-3х-0,4=0 методом деления отрезка пополам.

Решение. Вычисление занесем в таблицу 2.

Таблица 2

k	[ak;bk]	xk	f(xk)	Знаки функции
				f(ak)	f(xk)	f(bk)
0	[-2;-1]	-1.5	0.725	-	+	+
1	[-2;-1.5]	-1.7	-0.213	-	-	+
2	[-1.7;-1.5]	-1.6	0.304	-	+	+
3	[-1.7;-1.6]	-1.65	0.058	-	+	+
4	[-1.7;-1.65]	-1.68	-0.102	-	-	+
5	[-1.68;-1.65]	-1.66	0.006	-	+	+
6	[-1.68;-1.66]	-1.67	-0.047	-	-	+
7	[-1.67;-1.66]	-1.665	-0.021	-	-	+

Получили отрезок [-1.67;-1.66], длина которого равна 0,01, и этот отрезок содержит корни уравнения. Числа -1,67 и -1,66 есть приближенные значения корня с погрешностью , не превышающей 0,01. Примем за приближенное значение корня –1,66.

Ответ: х=-1,66.

9. 2.6 Индивидуальные задания

№1	2x +5x–3=0 3x4+4x3-12x2-5=0 0.5x +1=(x-2)2 (x-3)cosx=1, -2π≤x≤2π	№2	arctgx-1/3x3 =0 2x3-9x2-60x+1=0 [log2(-x)]·(x+2)= -1 sin(x+ π/3)-0.5x=0
№3	5x+3x=0 x4-x-1=0 x2-2+0.5x =0 (x-1)2 lg(x+11)=1	№4	2ex = 5x+2 2x4-x2-10=0 x·log3(x+1)=1 cos(x+0.5)=x3
№5	3x-1-2-x=0 3x4+8x3+6x2-10=0 (x-4)2·log0.5(x-3)=-1 5sinx=x	№6	2arctgx-1/2x3=0 x4-18x2+6=0 x2·2x=1 tgx=x+1, -π/2≤x≤ π/2
№7	e-2x-2x+1=0 x4+4x3-8x2-17=0 0.5x-1=(x+2)2 x2cos2x=-1	№8	5x-6x-3=0 x4-x3-2x2+3x-3=0 2x2-0.5x-3=0 xlg(x+1)=1
№9	arctg(x-1)+2x=0 3x4+4x3-12x2+1=0 (x-2)22x=1 x2-20sinx=0	№10	2arcсtgx-x+3=0 3x4-8x3-18x2+2=0 2sin(x+π/3)=0.5x2-1 2lgx-x/2+1=0
№11	3x+2x-2=0 2x4-8x3+8x2-1=0 [(x-2)2-1]2x=1 (x-2)cosx=1,-2π≤x≤2π	№12	2arctg x-3x+2=0 2x4+8x3+8x2-1=0 [log2(x+2)](x-1)=1 sin(x-0.5)-x+0.8=0
№13	3x+2x-5=0 x4+4x3-8x2+1=0 x2-3+0.5x=0 (x-2)2lg(x+11)=1	№14	2ex+3x+1=0 3x4+4x3-12x-5=0 xlog3(x+1)=2 cos(x+0.3)=x2
№15	3x-1-4-x=0 2x3-9x2-60x+1=0 (x-3)2log0.5(x-2)=-1 5sinx=x-1	№16	arctgx-1/3x3=0 x4-x-1=0 (x-1)22x=1 tg3x=x-1, -π/2≤x≤π/2
№17	ex+x+1=0 2x4-x2-1+=0 0.5x-3=(x+2)2 x2cos2x=-1,-2π≤x≤2π	№18	3x-2x+5=0 3x4+8x3+6x2-10=0 2x2-0.5x-2=0 xlg(x+1)=1
№19	arctg(x-1)+3x-2=0 x4-18x2+6=0 (x-2)22x=1 x2-20sinx=0	№20	2arcctgx-x+3=0 x4+4x3-8x2-17=0 2sin(x+ π/3)=x2-0.5 2lgx-x/2+1=0
№21	2x-3x-2=0 x4-x3-2x2+3x-3=0 (0.5)x+1=(x-2)2 (x-3)cosx=1, -2π≤x≤2π	№22	arcctgx+2x-1=0 3x4+4x3-12x+1=0 (x+2)log2(x)=1 sin(x+1)=0.5x
№23	3x+2x-3=0 3x4-8x3-18x2+2=0 x2-4+0.5x=0 (x-2)2lg(x+11)=1	№24	2ex-2x-3=0 3x4+4x3-12x2-5=0 xlog3(x+1)=1 cos(x+0.5)=x3
№25	3x+2+x=0 2x3-9x2-60x+1=0 (x-4)2log0.5(x-3)=‑1 5sinx=x-0.5	№26	arcctg(x-1)+2x-3=0 x4-x-1=0 (x-1)2.2x=1 tg3x=x+1, -π/2≤x≤π/2
№27	e -2x-2x+1=0 2x4-x2-10=0 0.5x-3=-(x+1)2 x2cos2x=-1	№28	3x-2x-5=0 3x4+8x3+6x2-10=0 2x2-0.5x-3=0 xlg(x+1)=1
№29	arctg(x-1)+2x=0 x4-18x2+6=0 (x-2)22x=1 x2-10sinx=0	№30	3x+5x-2=0 3x4+4x3-12x2+1=0 0.5x+1=(x-2)2 (x+3)cosx=1, -2π≤x≤2π

Задание 2.

1) Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001.

2) Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001.

Образец выполнения задания

1. Уточнить корни уравнения 3х-cosx-1=0 методом итераций с точностью до =10^-5.

Решение. Отделим корни уравнения графически. Для этого запишем уравнение в виде 3х=cosx+1. Уравнение имеет единственный корень с[0,4;0,9].

Действительно, f(0,4) f(0,9)=-(0,72)1,08<0, f'(х)=3+sin x>0 на всей числовой оси.

Запишем исходное уравнение в виде х=1/3(1+cos x) и положим:

(x)= 1/3(1+cos x).

Очевидно: 0<'(х)<1/3. Вычисление занесем в Таблицу 3.

Таблица 3

k	xk	cos xk	xk+1	|xk+1- xk|	*
0	0.500000	0.877583	0.625861	0.125861	0.00002
1	0.625861	0.810459	0.603486	0.022375
2	0.603486	0.823362	0.607784	0.004298
3	0.607784	0.820915	0.606972	0.000812
4	0.606972	0.821378	0.607126	0.000154
5	0.607126	0.821294	0.607097	0.000029
6	0.607097	0.821307	0.607102	0.000005

Ответ: х=0,60710.

2. Найти корень уравнения с точностью до 10^-2. Уравнение

f(x)  x³ – x – 1 = 0.

Решение. Уравнение имеет корень   [1; 2], так как f(1)= - 1 < 0 и f(2) = 5 > 0. Его можно записать в виде х = х³ – 1. Здесь

(х) = х³ – 1 и  (х) = 3х²;

поэтому

(х)  3 при 1  х  2

и, следовательно, условия сходимости процесса итерации не выполнены.

Если записать исходное уравнение в виде то будем иметь:

.

Отсюда при 1 х  2 и значит, процесс итерации для уравнения быстро сойдется.

Найдем корень  данного уравнения с точностью до 10^-2. Вычисляем последовательные приближения х_n с одним запасным знаком по формуле

Найденные значения помещены в таблицу 4:

Таблица 4

Значения последовательных приближений x_i.

i	0	1	2	3	4
xi	1	1,260	1,312	1,322	1,3243

С точностью до 10^-2 можно положить  = 1,324.

Ответ: х=1,324.

№1	1)	lnx+(x+1)3=0		2)	x3+2x2+2=0
№2	1)	x·2x=1		2)	x3-3x2+9=0
№3	1)	(x+1)1/2=1/x		2)	x3-2x2+2=0
№4	1)	x-cosx=0		2)	x3+3x2 -1=0
№5	1)	3x+cosx+1=0		2)	x3+x2-1=0
№6	1)	x+lnx=0.5		2)	x3+0.4x2+0.6x-1.6=0
№7	1)	2-x=lnx		2)	x3-0.2x2+0.4x-1.4=0
№8	1)	(x-1)2=1/2ex		2)	x3-0.1x2+0.4x+2=0
№9	1)	(2-x)ex=0.5		2)	x3+3x2+12x+3=0
№10	1)	2.2x-2x=0		2)	x3 -0.2x2+0.5x+-10
№11	1)	x2+4sinx=0		2)	x3-0.1x2+0.4x+1.2=0
№12	1)	2x-lgx=7		2)	x3-3x2+6x-5=0
№13	1)	5x-8lnx=8		2)	x3-0.2x2+0.5x-1.4=0
№14	1)	3x-ex=0		2)	x3+2x+4=0
№15	1)	x(x+1)2=1		2)	x3-3x2+12x-12=0
№16	1)	x=(x+1)3		2)	x3+0.2x2+0.5x+0.8=0
№17	1)	x2=sinx		2)	x3+4x-6=0
№18	1)	x3=sinx		2)	x3+0.1x2+0.4x-1.2=0
№19	1)	x=(lg(x+2))1/2		2)	x3+3x2+6x-1=0
№20	1)	x2=lg(x+1)		2)	x3-0.1x2+0.4x+-1.50
№21	1)	2x+lgx=-0.5		2)	x3-3x2+6x-2=0
№22	1)	2x+cosx=0.5		2)	x3-0.2x2+0.3x-1.2=0
№23	1)	sin0.5x+1=x2; x>0		2)	x3-3x2+12x-9=0
№24	1)	0.5x+lg(x-1)=0.5		2)	x3+0.2x2+0.5x-2=0
№25	1)	sin(0.5+x)=2x-0.5		2)	x3+3x+1=0
№26	1)	lg(2+x)+2x=3		2)	x3+0.2x2+0.5x-1.2=0
№27	1)	lg(1+2x)=2-x		2)	x3-3x2+9x+2=0
№28	1)	2sin(x-0.6)		2)	x3 -0.1x2+0.4x-1.5=0
№29	1)	x+lg(1+x)=1.5		2)	x3-3x2+6x+3=0
№30	1)	x+cosx=1		2)	x3-0.1x2+0.3x-0.=0