7. 2.4 Решение уравнений средствами MathCad

   1. 2.4.1. Функции произвольного вида

Найдем нули функции на интервале x=[–2; 7], используя Mathcad. Изобразим сначала график функции на интервале [–2; 7].

Рис. 4. График функции на интервале [–2; 7]

На заданном интервале функция три раза обращается в ноль. Определим нули функции, используя встроенную функцию root(f(x),x). Первый аргумент – функция, нуль которой необходимо найти, второй – переменная, которую необходимо варьировать. (Вообще говоря, функция f может быть функцией многих переменных и необходимо указывать, по какой именно переменной мы ищем нуль функции.) Кроме того, необходимо задать начальное приближение поиска. Точность вычислений задается встроенной переменной TOL. По умолчанию ее значение равно 0,001. Это значение можно изменить либо через меню Math/Built–In Variables или непосредственно в тексте документа:

Задаем начальное приближение:

И вычисляем корень:

Если требуется найти несколько корней, как в нашей задаче, то имеет смысл определить новую функцию:

Функция r(x) возвращает значение корня ближайшее к x¹, то есть начальное приближение мы задаем через аргумент функции. Задаем вектор начальных приближений x и находим соответствующие им корни X:

Для данного примера корни легко могут быть найдены аналитически. Они равны на заданном интервале /2/2 и 2. Полученный численный результат с заданной точностью совпадает с точным решением.

Определение новой функции целесообразно и в том случае, когда мы хотим исследовать зависимость решения от параметра. Пусть функция зависит от параметра a

Первый аргумент функции z задает значение параметра, второй – начальное приближение. Найдем корни уравнения при значениях параметра 1 и 2.

Если мы хотим получить комплексный корень, то начальное приближение следует задавать комплексным:

2. 2.4.2 Нахождение корней полиномов

Для нахождения корней полиномов имеется встроенная функция polyroots(a). Аргументом функции является вектор коэффициентов полинома , то есть для уравнения вектор а имеет вид

Если в полиноме отсутствуют некоторые степени, то на соответствующих местах следует писать 0. Пусть требуется найти корни полинома

Коэффициенты полинома могут быть и комплексными.

3. 2.4.3 Нахождение корней уравнений путем символических преобразований

Во многих случаях, Mathcad позволяет найти аналитическое решение уравнения. Для этого необходимо воспользоваться пунктом Solve for Variable из пункта меню Symbolic. Для того чтобы найти решение уравнения необходимо записать выражение и выделить в нем переменную (поставить указатель курсора возле переменной). Это необходимо для того, чтобы показать, какая именно величина является переменной, а какая – фиксированным параметром. После этого выбираем из пункта меню Symbolic подпункт Solve for Variable

решение готово ––>

Обратите внимание! В данном случае был найден только один корень, хотя, очевидно, их бесконечно много.

В случае полинома Mathcad, а точнее – встроенный символический процессор Maple – находит все корни.

–> Для этого примера найдено 2 корня, хотя они и вырождены. Пример с комплексными корнями: ––>