1. Тема 2. Численное решение нелинейных уравнений Вопросы для самоподготовки:

1. Что такое уравнение?

2. Что означает решить уравнение?

3. Какие уравнения называются алгебраическими? трансцендентными?

4. Этапы численного решения уравнений

5. Метод половинного деления (метод деления отрезка пополам)

6. Метод хорд

7. Метод касательных (метод Ньютона)

8. Метод пропорциональных отрезков (комбинированный метод хорд и касательных)

9. Метод итераций. Условия сходимости метода итераций

10. Нахождение корней уравнений с одной переменной в математических пакетах MathCad и Mathematica

11. Составить блок–схемы решения уравнений с одной переменной различными способами

2. Отделение корней

   1. 1.1 Общие понятия

Решением уравнения

f(х)=0. (1)

называется такое значение х (корень уравнения или нуль функции f(х)), при котором f(х)0.

Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса – алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными. Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

1. точные методы;

2. итерационные методы.

Методы нахождения точного значения корней известны только для узкого класса уравнений, например квадратных и биквадратных, некоторых тригонометрических, показательных и логарифмических. На практике чаще встречаются уравнения, которые невозможно решить с помощью элементарных приемов. Кроме того, в расчетах в большинстве случаев нельзя говорить о точном решении уравнений, так как входящие в них коэффициенты заданы приближенно. Поэтому важное значение приобретают методы, позволяющие находить корни уравнения (1.1) с любой наперед заданной степенью точности.

Задача нахождения приближенного значения корня распадается на два этапа:

1. отделение корней;

2. уточнение корня.

Для каждого из этих этапов решения задачи разработаны свои численные методы

Под отделением корня уравнения (1) понимают определение его приближенного значения, либо нахождение какого-либо достаточно узкого отрезка, на котором лежит этот и только этот корень данного уравнения.

Для отделения корней полезны следующие теоремы из математического анализа.

Теорема 1. Если функция у=f(х) непрерывна на отрезке [а; b] и f(a)f(b)<0, то внутри отрезка [а; b] существует по крайней мере один корень уравнения (1).

Теорема 2. Если функция у=f(х) непрерывна на отрезке [а; b], f(a)f(b)<0 и f′(х) на интервале (а; b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а; b] существует единственный корень уравнения f(х)=0.

Для отделения корней можно использовать также график функции у=f(х). Корнями уравнения (1) являются те значения х, при которых график функции у=f(х) пересекает ось абсцисс. Построение графика функции даже с малой точностью обычно дает представление о расположении корней уравнения (1). Если построение графика функции у=f(х) вызывает затруднение, то исходное уравнение (1) следует преобразовать к виду таким образом, чтобы графики функций и были достаточно просты. Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями уравнения (1).