
- •Тема 2. Численное решение нелинейных уравнений Вопросы для самоподготовки:
- •Отделение корней
- •1.1 Общие понятия
- •Задание 1.
- •1.2 Индивидуальные задания
- •Уточнение корней уравнения методами половинного деления и простой итерации
- •2.1 Уточнение корня. Постановка задачи
- •2.2 Метод половинного деления
- •Метод хорд
- •Метод Ньютона
- •Комбинированный метод
- •2.3 Метод простой итерации (метод последовательных приближений)
- •2.4 Решение уравнений средствами MathCad
- •2.4.1. Функции произвольного вида
- •2.4.2 Нахождение корней полиномов
- •2.4.3 Нахождение корней уравнений путем символических преобразований
- •2.4.4 Поиск корней уравнений в Mathcad
- •2.5 Блок-схемы
- •2.6 Индивидуальные задания
- •Задание 3.
Комбинированный метод
Можно заметить,
что в качестве начального приближения
в методе секущих и касательных берутся
противоположные концы отрезка .
Так как последовательные приближения
сходятся к корню монотонно, то они всегда
определяют отрезок, в котором содержится
решение уравнения (1). Будем считать, что
,
и
сохраняют знак на
.
Выбирая в качестве точки
в методе секущих приближения, полученные
по методу касательных, придем к формулам
комбинированного метода
;
.
(4)
Геометрическая интерпретация комбинированного метода:
2.3 Метод простой итерации (метод последовательных приближений)
Заменим уравнение f(х)=0 эквивалентным ему уравнением
х= (х). (2)
Это можно сделать различными способами, например
х =х + с f '(х), с ≠ 0. (3)
Пусть известно начальное приближение корня х=х0. Подставляя это значение в правую часть уравнения (2), получим новое приближение:
х1=(х0).
Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в (2), получаем последовательность значений:
(4)
Геометрически
метод итерации может быть пояснен
следующим образом. Построим на плоскости
хОу
графики функций у=х
и у=(х).
Каждый действительный корень
уравнения
(4) является
абсциссой точки пересечения М
кривой у=(х)
с прямой у=х
(см. рисунок 2 а)).
Рис.2 Сходящиеся итерационные процессы
Отправляясь от
некоторой точки А0
[x0,
(x0)],
строим ломаную А0В1А1В2А2...
(“лестница”), звенья которой попеременно
параллельны оси Ох
и оси Оу,
вершины А0,А1,А2,...
лежат на
кривой у=(х),
а вершины В1,В2,В3,…,
- на прямой у=х.
Общие абсциссы точек А1
и В1,
А2
и В2,
..., очевидно, представляют собой
соответственно последовательные
приближения х1,
х2,
...
корня .
Возможен также другой вид ломаной А0В1А1В2А2 ... – «спираль» (см. рисунок 2 б)). Решение в виде «лестницы» получается, если производная (х) положительна, а решение в виде «спирали», если (х) – отрицательна.
Рисунок
1. Расходящийся итерационный процесс
– пологая, то есть
<1,
и процесс итерации сходится. Однако,
если рассмотреть случай, где
>1,
то процесс итерации может быть
расходящимся.
Рис.3. Расходящийся итерационный процесс
Для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса.
Теорема 3.
Пусть
функция (х)
определена
и дифференцируема на отрезке
[a; b],
причем все
ее значения
(х)[a; b].
Тогда, если
существует правильная дробь
q
такая, что
q<
1 при a <
x <
b, то:
1) процесс итерации сходится независимо от начального значения х0 [a, b];
2) предельное
значение
является
единственным корнем уравнения
х = (х)
на отрезке
[a; b].
Скорость сходимости определяется неравенством
Из этого неравенства,
в частности, следует, что скорость
сходимости метода простой итерации
зависит от величины q:
чем меньше q,
тем быстрее сходимость. Следовательно,
на практике при нахождении корней
методом простой итерации желательно
представить уравнение f(х)=0
в форме (2) таким образом, чтобы производная
'(х)
в окрестности корня по абсолютной
величине была возможно меньше. Для этого
иногда пользуются параметром с
из формулы (3).