Задания

1. Записать линейные свойства ПИ-1.

2. Записать свойство аддитивности для ПИ-1.

Пример 23. Вычислить ПИ-1 , где - часть плоскости

, вырезанная цилиндром (рис.14.26).

Рис. 14.26

 Поверхность  проецируется на плоскость в круг. По формуле (6.4). Из уравнения следует ,; тогда=

=

=.

Пример 24. Вычислить ПИ-1 , где - полная поверхность тетраэдра, отсекаемого от первого октанта плоскостью .

 Полная поверхность  тетраэдра складывается из его граней: ,где(рис.14.27).

Выпишем уравнения поверхностей и вычислим для них элементы:

а) ;

б) ;

в

Рис.14.277

);

г) .

Задав уравнения поверхностей в явном виде, мы определили тем самым плоскости проецирования их; - области, на которые проецируются.

.

По поводу последней записи напомним, что следует в подынтегральной функции независимые переменные (переменные из области) оставлять без изменения, зависимую переменную заменить из явного уравнения соответствующей поверхности, азаменить выражением, полученным выше, причем. Находим:

;

, так как области ипереходят одна в другую заменойна;

;

=.

.

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить поверхностные интегралы первого рода:

120. , где - часть плоскости , лежащая в первом октанте.

121. , где - часть сферы , лежащая в первом октанте.

122. , где - полусфера .

123. , где - полусфера .

124. , где - цилиндр , ограниченный плоскостями, аr –расстояние от точки поверхности до начала координат.

125. , где - часть конической поверхности , вырезанная поверхностью.

126. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию этой точки от некоторого фиксированного диаметра сферы.

127. Найти массу параболической оболочки , плотность которой меняется по закону.

128. Найти массу полусферы , плотность которой в каждой ее точке равна.

129. Найти координаты центра тяжести части однородной поверхности , вырезанной поверхностью.

14.6.3. Поверхностные интегралы второго рода (пи-2)

Пусть : 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно- гладкой) поверхности  задана ограниченная функция ; 2) выбрана положительная сторона поверхности; 3)- разбиение на n частей с площадямии диаметрами; 4) - произвольный набор точек; 5) - проекция элементана плоскость(проекция определенной стороны поверхности связана со знаком “+” или “–“ ); 6)- интегральная сумма, соответствующая данному разбиению и выбору точек.

Определение. Конечный предел приназываетсяповерхностным интегралом второго рода от по определенной стороне поверхности :

(здесь напоминает о проекциинаи содержит знак).

При проецировании ориентированной поверхности  на плоскости иполучаем ПИ-2:

.

Вычисление ПИ-2. Теорема 14.11. Пусть ориентированная гладкая поверхность задана явно. Тогда

а) если , то;

б) если , то; (6.5)

в) если , то.

Связь между ПИ-1 и ПИ-2. Теорема 14.12. Если  - гладкая двусторонняя поверхность, ориентация  характеризуется нормалью = - функции, определенные и непрерывные на , то

. (6.6)

Связь между ПИ-2 и тройным интегралом (формула Гаусса – Остроградского). Теорема 14.13. Пусть функции - непрерывные вместе со своими частными производными (первого порядка) в некоторой пространственной областиV, ограниченной гладкой замкнутой поверхностью  с положительной внешней стороной. Справедлива формула

.

Замечание. О приложениях ПИ-2 смотри в разделе “Элементы теории поля”.

Пример 25. Вычислить ПИ-2: , где- положительная (внешняя) сторона сферы.



Рис.14.28

Для вычисления ПИ-2 замкнутую поверхность необходимо разбить нас уравнениемис уравнением(рис.14.28). Тогда на основании (6.2) положительная сторона поверхностихарактеризуется нормальным вектором,

ибо угол между и положительным направлениемOz, т.е. (,^Oz), – острый, а положительная сторона поверхностности - вектором, ибо угол (,^Oz)- тупой. Проекция каждой из поверхностей иесть область- круг радиусаR с центром в начале координат. Поэтому по формуле (6.5) +=переходим к полярным координатам :

, = ===двойной интеграл “расщепился” в произведение определенных интегралов=;

=

=; .

Итак, .

Пример 26. Вычислить ПИ-2 общего вида: , где- внешняя сторона конической поверхности, ограниченной плоскостьюz =2.

Внешняя сторона поверхности характеризуется нормальным вектором, который составляет тупой угол с положительным направлением осиOz (рис.14.29),

а

Рис.14.29

потому,=.

Тогда ,.

Данный ПИ-2 можно вычислять по разному. Первый способ – вычислять три ПИ-2, составляющих данный поверхностный интеграл. Второй способ – использовать связь ПИ-2 с ПИ-1, что и сделаем. По формуле (6.6)

=

=

Рис.14.29

. Последний поверхностный интеграл есть ПИ-1. Проекцияна плоскостьOxy есть область - круг радиуса 2 с центром в начале координат. Так как, то по формуле (6.3) (или (6.4))=переходим к полярным координатам =

== ==.