- •Г л а в а 11 ряды
- •11.1. Числовые ряды. Основные понятия.
- •11.2. Необходимый признак сходимости ряда
- •11.3. Линейные операции над числовыми рядами. Простейшие свойства числовых рядов
- •11.4. Знакоположительные ряды
- •11.5. Знакочередующиеся ряды
- •11.6. Знакопеременные ряды
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Фунциональные ряды
- •12.1. Функциональные ряды. Основные понятия
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •20. ,. 21., [-3, 3]. 22. .
- •23. , . 24. , [0, 4].
- •12.3. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов
- •12.4. Степенные ряды. Свойства степенных рядов
- •Задачи для самостоятельного решения
- •25. 26.
- •27. 28.29.
- •12.5. Ряды тейлора и маклорена. Разложение функций в ряд
- •Задачи для самостоятельного решения
- •59. 60.61.
- •13.2. Ряд фурье по ортогональной системе функций
- •13.3. Тригонометрические ряды фурье
- •13.4. Интеграл фурье. Преобразования фурье
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14. 15.
- •16. 17.
- •Ответы к задачам главы 13
Г л а в а 11 ряды
11.1. Числовые ряды. Основные понятия.
Пусть дана последовательность действительных чисел
Выражение вида
(1.1)
называется числовым рядом, числа -членами ряда, -n-ым или общим членом ряда. Сумма n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой и обозначается символом : .
Если для последовательности частичных сумм существует конечный пределS, то ряд (1.1) называется сходящимся, а число S –суммой данного ряда. В этом случае пишут: ; .
Ряд (1.1) называется расходящимся, если не существует или бесконечен. Ряд, полученный из (1.1) отбрасыванием первых егоm членов, называется остатком ряда (1.1):
(1.2)
Ряд сходится или расходится вместе со своим остатком.
11.2. Необходимый признак сходимости ряда
Теорема 1. Если ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю:
(2.1)
Следствие. Если , то ряд (1.1) расходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда .
Найдем:(в числителе стоит показательная функция, которая растет быстрее, чемn ), следовательно, ряд расходится.
Пример. Исследовать сходимость гармонического ряда
. (2.2)
Очевидно, условие (2.1) выполняется: , однако, гармонический ряд расходится. Действительно, если предположить, что ряд (2.2) сходится и его сумма равнаS, то . Тогда из неравенства . Получили противоречие.
11.3. Линейные операции над числовыми рядами. Простейшие свойства числовых рядов
Рассмотрим ряды:
; ; ; . (3.1 a,b,c,d)
Ряд (с) называется суммой рядов (а) и (b), а ряд (d) – произведением ряда (а) на число .
Если сходятся ряды (а) и (b), то сходятся и ряды (с) и (d) и если , то; .
11.4. Знакоположительные ряды
Ряд называетсязнакоположительным, если
. (4.1)
Приведем некоторые достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
Теорема 2. (признак сравнения в непредельной форме). Даны 2 ряда
и . (4.2a, b)
Если, начиная с некоторого n, выполняется условие и ряд (b) сходится, то сходится и ряд (а). Если же ряд (а) расходится, то ряд (b) тоже расходится.
Теорема 3. (признак сравнения в предельной форме). Даны 2 ряда:
и . (4.2, a,b)
Если существует конечный и не равный нулю предел: , то ряды (а) и (b) сходятся или расходятся одновременно.
В качестве рядов для сравнения удобно выбирать: 1) гармонический ряд , который расходится; 2) обобщенный гармонический ряд(ряд Дирихле), который сходится приp>1 и расходится при p1; 3) геометрическую прогрессию , которая сходится, еслии расходится, если.
Признак сравнения в предельной форме особенно эффективен для рядов, общий член которых есть алгебраическая функция целого аргумента, либо функция, в пределе приводимая к вышеуказанной (использование таблицы эквивалентных бесконечно малых), т.к. позволяет свести исследование сходимости исходного ряда к рассмотрению одного из трех “эталонных” рядов.
Пример. Исследовать сходимость ряда
.
Ряд знакоположительный, применим к нему признак сравнения в предельной форме, сравнив его с рядом , который сходится как обобщенный гармонический ряд с.
. Предел отношения общих членов этих рядов при конечный, не равный нулю, следовательно, ряды ведут себя одинаково; данный ряд сходится. Ряд для сравнения подбираем следующим образом: при;
Пример. Исследовать сходимость ряда .
Ряд знакоположительный. Т.к. при аргумент, то, поэтому для сравнения берем ряд. Последний ряд является гармоническим, все члены которого умножены на, что не влияет на его расходимость. Т.к.и рядрасходится, тотакже расходится.
Пример. Исследовать на сходимость ряд .
Ряд дан знакоположительный. Т.к. , т.е. он может быть равен 1 или–1, то. Из последнего неравенства видно, что исходный ряд можно сравнить с рядом, а этот ряд сходится (обобщенный гармонический сp=2>1, все члены которого умножены на 4). Но т.к. ряд с большими членами сходится, то на основании признака сравнения в непредельной форме будет сходиться и исходный ряд.
Теорема 4. (признак Даламбера).Дан ряд
(4.1).
Если существует , то приq<1 ряд сходится, при q>1 ряд расходится; при q=1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Признак Даламбера не дает результата для рядов с общим членом в виде дробно-рациональной функции или функции, содержащей под радикалом переменную n, т.к. замена n на n+1 не меняет коэффициента при старших степенях n. Признак эффективен в случае наличия в общем члене ряда показательной функции или факториалов. Заметим, что n!=123…n.
Пример. Исследовать сходимость ряда
c помощью признака Даламбера.
Здесь .
Тогда
. Ряд сходится, т.к. q<1.
Пример. Исследовать сходимость ряда .
, = . Т.к. q>1, ряд расходится.
Теорема 5 (признак Коши, радикальный). Дан ряд (4.1). Если существует , то приq<1 ряд сходится; при q>1 ряд расходится; при q=1 вопрос о сходимости ряд остается открытым.
Радикальный признак Коши дает результат в случае, когда общий член ряда имеет вид степенно-показательной функции целочисленного аргумента.
Пример. Исследовать сходимость ряда .
Ряд знакоположительный, применим к нему признак Коши; найдем
.По теореме 5 ряд сходится.
Теорема 6 (интегральный признак Коши). Дан ряд (4.1). Если функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям: 1) ; 2) непрерывна, положительна и монотонно убывает при , то ряд (4.1) и несобственный интегралодновременно сходятся или расходятся.
Интегральный признак Коши удобно применять в тех случаях, когда функция f(x), полученная заменой в общем члене ряда целочисленной переменной n на непрерывную переменную x, обладает легко находимой первообразной.
Пример. Исследовать сходимость ряда .
Рассмотрим функцию . При натуральных значениях аргумента значения функции совпадают с соответствующими членами ряда:. Кроме того,f(x) при будет непрерывной, положительной и монотонно убывающей (функция, стоящая в знаменателе, растет быстрее, чемln(x+1), стоящая в числителе). Показать, что f(x) будет монотонно убывающей, можно и с помощью :
для , следовательно,f(x) - убывающая на [1,+).
Рассмотрим несобственный интеграл , который берется по частям:
.
Найдем отдельно .
Здесь для нахождения предела применили правило Лопиталя. Далее: . Итак, =. Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд.