11.5. Знакочередующиеся ряды

Ряд называется знакочередующимся, если он имеет вид

(5.1)

Теорема 7 (признак Лейбница).

Если члены знакочередующегося ряда не возрастают по абсолютной величине с ростом n, т.е., начиная с некоторого n, верно неравенство и, то ряд (5.1) сходится, причем, если его сумма равнаs, то .

Пример. Исследовать сходимость ряда .

 Ряд знакочередующийся. Применим признак Лейбница (теорема 7). ,

. Очевидно, что . Кроме того,. Выполнены оба условия признака Лейбница, следовательно, ряд сходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

 Дан знакочередующийся ряд. Члены этого ряда по абсолютной величине монотонно убывают. В самом деле, , т.к. . Однако,. Значит, ряд расходится по необходимому признаку (теорема 1, следствие), по признаку Лейбница расходимость не установить.

11.6. Знакопеременные ряды

Ряд называетсязнакопеременным, если членами его являются любые действительные числа: .

Теорема 8 (признак абсолютной сходимости).

Дан ряд . Если сходится ряд, то сходится и ряд.

Ряд в этом случае называетсяабсолютно сходящимся.

Т.к. знакочередующийся ряд – частный случай знакопеременного ряда, то и к знакочередующемуся ряду можно применять признак абсолютной сходимости.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Дан знакопеременный ряд. Применим к нему признак абсолютной сходимости. Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда: . Этот знакоположительный ряд сравним в непредельной форме с рядом , который представляет собой геометрическую прогрессию с , следовательно, сходится. Имеем очевидное неравенство: , тогда ряд также сходится, а значит по признаку абсолютной сходимости исходный ряд сходится абсолютно.

Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Пример. Исследовать на абсолютную или условную сходимость так называемый ряд Лейбница

(6.1)

 По признаку Лейбница (теорема 7) этот ряд сходится, т.к. для него выполняются оба условия этого признака: a) и

б) . Но ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда,является гармоническим, который расходится (см. 2.2). Следовательно, ряд Лейбница сходится условно.

Теорема 9. В сходящемся (абсолютно или условно) ряде можно группировать члены, не меняя их порядка. Иными словами, если сходится ряд , то сходится и ряд + , причем оба ряда имеют одну и ту же сумму.

Теорема 10. Абсолютно сходящийся ряд остается сходящимся и сохраняет сумму при любой перестановке его членов.

Теорема11. В условно сходящемся ряде при соответствующей перестановке его членов можно сделать его сумму равной любому наперед заданному числу или сделать ряд расходящимся.

Произведением рядов и называется ряд , где

Теорема 12. Если перемножаемые ряды сходятся абсолютно, то ряд - произведение сходится также абсолютно и имеет сумму, равную .

Краткие рекомендации по применению тех или иных признаков сходимости к соответствующим рядам приведены в нижеследующей таблице.

Знакоположительные ряды.	Знакочередующиеся ряды.	Знакопеременные ряды.
Необходимый. Сравнения в непредельной форме. Сравнения в предельной форме. Даламбера. Коши радикальный. Коши интегральный.	Необходимый. Лейбница. Абсолютной сходимости.	Необходимый. Абсолютной сходимости.

Следует иметь в виду, что существуют и другие признаки сходимости рядов, с которыми можно познакомиться в литературе, указанной к этому задачнику.