Задачи для самостоятельного решения

Найти область сходимости следующих рядов.

1. . 2.. 3.. 4.. 5..

6. . 7.. 8.. 9.. 10..

11. . 12.. 13.. 14..

15. . 16.. 17..

18. . 19..

12.2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ

Сходящийся в некотором промежутке Xфункциональный рядназываетсяравномерно сходящимсяв этом промежутке к, если.

Теорема 1(признак Вейерштрасса). Дан ряд (1.1). Если существует такой знакоположительный сходящийся числовой ряд

(2.1)

что , то ряд (1.1) сходится равномерно в промежуткеX.

Ряд (2.1) в этом случае называется мажорирующим рядомилимажорантой, а ряд (1.1) –мажорируемымсходящимся рядом (2.1).

Пример.Установить равномерную сходимость рядана любом отрезке.

 Рассмотрим ряд . Он является знакоположительным, сходящимся (обобщенный гармонический,). Длясправедливо неравенство

. Это значит, что ряд мажорируем на, а значит сходится равномерно на любом отрезке.

Пример.Показать, что рядсходится равномерно на [-1,1] .

 Для значений очевидно. Ряд- знакоположительный, сходящийся и, следовательно, по признаку Вейерштрасса рядсходится равномерно на [-1, 1] .

Задачи для самостоятельного решения

Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость следующих функциональных рядов в указанных промежутках.

20. ,. 21., [-3, 3]. 22. .

23. , . 24. , [0, 4].

12.3. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов

Теорема 2.Если члены ряда (1.1) – функции непрерывные в некотором промежуткеXи ряд сходится в этом промежутке равномерно, то сумма его- функция также непрерывная вX.

Теорема 3. Если члены ряда (1.1) –функции непрерывные вX и ряд сходится равномерно вX, то ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке. Иначе говоря:.

Теорема 4.Если 1) ряд (1.1) сходится в некотором промежуткеXкS(x);

2) - функции непрерывные вX. 3) Рядсходится равномерно вX, то ряд (1.1) можно почленно дифференцировать в каждой точке промежуткаX.

Т.е. .

Пример. Исходя из соотношения,найти сумму ряда.

 Т.к. члены ряда непрерывны ви ряд сходится равномерно в этом промежутке по признаку Вейерштрасса (теорема1):, т.е. рядмажорируем сходящимся рядом, то рядможно почленно интегрировать на, т.е. менять местами символыи

.

12.4. Степенные ряды. Свойства степенных рядов

Степенным рядомназывается ряд вида

(4.1)

т.е. ряд, членами которого являются степенные функции. Всякий степенной ряд (4.1) сходится в интервале .Rназываетсярадиусом сходимостиряда (4.1).

Если R= 0, то ряд (4.1) сходится только в точкеx= 0. Если, то ряд (4.1) сходится на всей числовой оси. Если, тоинтервалом сходимостиявляется конечный интервал с центром в точкеx= 0 .

Более общий вид степенного ряда:

. (4.2)

Интервал сходимости этого ряда симметричен относительно точки :.

Теорема 5.На всяком отрезкеряд (4.1) сходится равномерно.

Теорема 6.Степенной ряд (4.1) можно почленно интегрировать на любом отрезке.

Т.о., если .

Теорема 7.Ряд (4.1) можно почленно дифференцировать в каждой точкеxего интервала сходимости сколько угодно раз, при этом радиус сходимости ряда не меняется.

.

Пример.Найти сумму ряда

 Обозначим сумму этого ряда через :

Интервал сходимости этого ряда (-1, 1). На основании теоремы 7 его можно почленно дифференцировать в каждой точке интервала (-1, 1):

Справа в этом равенстве – сумма геометрической прогрессии. Если , то, откуда. Зная, что .

Пример. Найти сумму ряда

 Обозначим сумму ряда через :

Этот ряд сходится в интервале (-1, 1). На основании теоремы 6 его можно почленно интегрировать на любом отрезке .

. Сумма последнего ряда – сумма геометрической прогрессии, для которой . Таким образом,. Продифференцируем обе части этого равенства:(производная интеграла с переменным верхним пределом интегрирования по этому пределу)..

Итак, .