Глава 6. Неопределённый интеграл
6.1. Первообразная и неопределённый интеграл.
Функция
называетсяпервообразной функции
,
заданной на некотором множестве
,
если
для
всех
.
Если
и
–
две первообразные для одной и той же
функцииf(x),
то
.
Совокупность всех первообразных
функции
,
выражаемая формулой
,
называетсянеопределённым интеграломот функции
и
обозначается знаком
:
.
6.2. Основные свойства неопределенного интеграла.
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5)
.
6.3. Таблица основных неопределённых интегралов.
.
9)
.
.
10)
.
.
11)
.
. 12)
.
. 13)
.
. 14)
.
. 15)
.
.
16)
.
6.4 Основные методы интегрирования.
а) Метод непосредственного интегрирования.
Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы 6.3 и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием.
Примеры.Непосредственным интегрированием найти следующие интегралы:
(формула
1 таблицы 6.3) #
(формула 3 таблицы 6.3) #
#
(формула 15 из таблицы 6.3 и свойство 5 из
6.2)
б)Метод подведения под знак дифференциала.
Напомним, что
,
если
.
При интегрировании бывает удобно
представить
или
и.т.д. Это и используется при интегрировании
методом подведения под знак дифференциала.
Примеры.Методом подведения под знак дифференциала найти следующие интегралы:
#
#
#
в) Метод замены переменной
Если подынтегральное выражение
можно преобразовать к виду
,
где
и
,
то
.
Примеры.Найти следующие интегралы методом замены переменной.
.
Сделаем подстановку
.
.
#
.
Заменим
.
г) Метод интегрирования по частям.
Если
и
– непрерывно дифференцируемые функции,
то имеет место формула:
.
(4.1.)
К
следует относить множители, которые
упрощаются при дифференцировании.
Формула (4.1) может применяться неоднократно.
Интеграл, стоящий справа в (4.1) должен
быть проще интеграла, стоящего слева.
Примеры.Следующие интегралы найти интегрированием по частям:
#
=
#
=
Получили уравнение относительно
.
Решая его, будем иметь:
.
Интегралы такого типа называют циклическими.
Задачи для самостоятельного решения
Найти интегралы методом непосредственного интегрирования.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
Найти интегралы методом подведения под знак дифференциала.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.30.
.
31.
.
32.
.
33.
.
34.
.
35.
.
36.
.
37.
.
38.
.
39.
.
40.
.
Найти интегралы методом замены переменной.
41.
.
42.
.
43.
.
44.
.
45.
.
46.
.
47.
.
Найти интегралы методом интегрирования по частям.
48.
.
49.
.
50.
.
51.
.
52.
.
53.
.
54.
.
55.
.
56.
.
57.
.
58.
.
59.
.
60.
6.5 Интегрирование простейших функций, содержащих квадратный трехчлен.
а) Интегралы вида
и
(5.1)
сводятся к табличным 13-16 после выделения из квадратного трехчлена полного квадрата.
Пример. Найти интеграл
.
=
=
=
.
#
б) Интегралы вида
и
.
(5.2)
При интегрировании таких функций сначала
в числителе создаётся дифференциал
квадратного трехчлена:
.
Числитель преобразуется следующим
образом:
.
После этого данный интеграл по свойству
5 раздела 6.2. разбивается на два:
,
первый из которых берётся по
формуле 2 таблицы 6.3, а второй – интеграл (5.1), рассмотренный раньше. Аналогично берётся и второй интеграл из (5.2)
Пример. Найти интеграл
.
.
в) Интегралы вида
. (5.3)
Эти интегралы приводятся к интегралам
(5.2) подстановкой
.
Пример.Найти интеграл
.
.