Задачи для самостоятельного решения

Вычислить криволинейные интегралы первого рода:

81. , гдеl – отрезок прямой , заключенный между точкамии.

82. , гдеl – контур прямоугольника с вершинами: .

83. , гдеl – дуга параболы , отсеченная параболой.

84. , гдеl – первая арка циклоиды .

85. , гдеl- половина лемнискаты .

86. , где l – часть спирали Архимеда , заключенная внутри круга радиусаR с центром в точке .

87. , где l – первый виток конической винтовой линии ,,.

88. , гдеl –четверть окружности , лежащая в первом октанте.

89. , гдеl – дуга гиперболы ,.

90. , где l – дуга астроиды в первом квадранте.

91. Найти массу первого витка винтовой линии , плотность которой в каждой точке равна полярному радиусу этой точки.

92. Найти массу линии ,, от точки, соответствующейt=0, до произвольной точки, если плотность в каждой точке обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке равна единице.

93. Найти массу дуги параболы , если линейная плотность в текущей точке равна.

Вычислить координаты центра тяжести дуги однородной кривой :

94. , от точкидо точки.

95. .

96. .

14.5.2 Криволинейные интегралы второго рода (ки-2)

Пусть : 1) в точках непрерывной кривой AB из пространства определены ограниченные скалярные функции;

2) - произвольное разбиение кривойAB на элементарные дуги с длинамии проекциями,,на соответствующие оси координат; 3)- произвольный набор точек;

4) - интегральная сумма, соответствующая данному разбиению и данному выбору точек.

Определение. Конечный предел интегральной суммы при, не зависящий ни от способа разбиенияAB , ни от выбора точек , называетсякриволинейным интегралом второго рода от функций по путиAB: .

Механически КИ-2 представляет собой работу переменной силы , точка приложения которой описывает кривуюAB.

Вычисление КИ-2. Теорема 14.7. Если линия AB задана в параметрической форме: , где- непрерывно дифференцируемые функции, и при изменении параметраt от ккривая описывается именно от точкиA к точке B, то

(5.5)

причем КИ-2 существует, если существует определенный интеграл.

Следствия.

а) Для плоской линии AB: и функций ,:.

б) Для заданной явно плоской линии

. (5.6)

Независимость КИ-2 от пути интегрирования

Теорема 14.8. Если функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой замкнутой ограниченной поверхностно односвязной областиV, то равносильны следующие четыре утверждения:

1) , гдеl – замкнутый контур, лежащий внутри V;

2) не зависит от выбора пути интегрирования;

3) есть полный дифференциал некоторой однозначной функции , заданной в точкахV;

4) выполняются равенства: .

Функция может быть найдена, например, по формуле

(5.7)

где - некоторая фиксированная точка областиV, c – произвольная постоянная.

Связь между КИ-1 и КИ-2. Пусть спрямляемая (не имеющая особых точек) линия AB имеет в каждой точке касательную, положительное направление которой составляет с осью координат углы . Тогда

.

Связь КИ-2 с двойным интегралом (формула Грина). Теорема 14.9. Пусть: 1) функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные в открытой односвязной области; 2)l – кусочно-гладкий контур, ограничивающий область , и при положительном обходеl ближайшая часть области S находится слева от наблюдателя. Тогда справедлива формула:

.

Площадь плоской области. Площадь s фигуры S, ограниченной простым кусочно-гладким контуром l, равна

.

Пример 20. Вычислить КИ-2: , гдеL – дуга параболы , проходимая от точкидо точки.

Кривая l представлена на рис.14.24.

Рис.14.24

По формуле (5.6) имеем ==. 

Пример 21. Вычислить КИ-2: , где l – замкнутый контур, полученный пересечением сферы и цилиндра, обходимый против часовой стрелки, если смотреть из начала координат (рис.14.25).



Рис.14.25

Для вычисления КИ-2 представим l в параметрической форме. Поверхность запишем в виде.Последнее равенство выполнится тождественно, если положить, например,,,. Тогда из уравнения сферы имеем= == =. Отсюда, помня, что, имеем. Итак,; , , . По формуле (5.5) =

=.

Пример 22. Найти первообразную функции , если.

 По формуле (5.7) при получим

.

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить криволинейные интегралы второго рода:

97. , гдеl – отрезок прямой от точки пересечения ее с осьюOx до точки пересечения с осью Oy.

98. , где l – контур прямоугольника с вершинами , указанными в порядке обходаl.

99. вдоль линий: 1) , 2) , 3) , 4) .

100. , l – эллипс , обходимый в положительном направлении.

101. , гдеl – первая от начала координат арки циклоиды ,.

102. , гдеl – отрезок прямой от точки (1;1;1) до точки (2;3;4).

103. , где l – дуга винтовой линии .

104. , гдеl – линия пересечения сферы и цилиндра() , обходимая против часовой стрелки, если смотреть из начала координат (часть кривой Вивиани).

Убедиться, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, и вычислить КИ-2: