14.2.4. Замена переменных в двойном интеграле.

Пусть функции осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение областиP плоскости на областьS плоскости . Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение,областиS на область P, если якобиан преобразования

=.

Величины u и v можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области P и в то же время как криволинейные координаты точек области S. Точки плоскости Oxy, для которых одна из координат u и v сохраняет постоянное значение, образуют координатную линию. Всего будет два семейства таких линий.

Теорема 14.3. Пусть есть дифференцируемое преобразование областиP из плоскости на областьS из плоскости . Тогда справедливо равенство

(2.5)

Замечание. Равенство (2.5) сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями S и P нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий.

Переход в двойном интеграле к полярным координатам

Формулы

(2.6)

преобразуют полярные координаты точки в декартовы координаты этой точки и переводят область(или область) на всю плоскостьOxy.

Обратное преобразование декартовых координат в полярные осуществляется по формулам:

Фиксируя в последних формулах и, получим координатные линии из разных семейств: окружность с центром в точкеи луч, исходящий из точки.

Якобиан преобразования

и формула (2.5) принимает вид:

(2.7)

Рекомендация. К полярным координатам целесообразно переходить, когда в подынтегральное выражение или в уравнения границы области интегрирования входит комбинация .

В некоторых случаях при вычислении двойного интеграла удобно перейти от декартовых координат к эллиптическим полярным координатам по формулам

, (2.8)

- постоянные, . Тогда

, (2.9)

Пример 6. Записать в полярной системе координат область S , заданную в декартовой системе координат неравенством (круг радиусаR с центром в точке ).

 Перейдем от декартовых координат x, y к полярным по формулам , . Подставим x и y в исходное неравенство, получим: или. На координату дополнительных ограничений не накладывается, поэтому (или).

В полярной системе координат круг записывается неравенствами: . 

Пример 7. Записать в полярной системе координат область S - часть круга, ограниченную линиями ,,(),- постоянные,.

 Изобразим область S (рис. 14.9). Запишем заданные линии в полярных координатах, которые связаны с декартовыми формулами , : 1) ;

2) , ;

3).

Область переходит в область

.

Рис. 14.9

В

Рис.14.9

полярной системе координат заданная область определяется системой неравенств:.

Пример 8. Вычислить двойной интеграл ,S - множество точек, удовлетворяющих неравенству .



Рис.14.10

Границей области является линия или - окружность радиуса 2 с центром в точке(рис. 14.10).

Наличие в уравнении границы комбинации наводит на мысль, что для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатампо формулам , , . Уравнение границы переходит в уравнение или . Отсюда =0 (соответствует полюсу O) и - уравнение окружности. Так как всегда (по смыслу ), то из следует , отсюда получаем (этот же результат можно усмотреть из рисунка). Итак, в полярных координатах область интегрирования есть . Тогда по формуле (2.7)

. 

Пример 9. Вычислить , где.

Область D ограничена линиями: – эллипс с полуосями a и b, – эллипс с полуосямии,y=0 – прямая (ось Ox), – прямая (рис. 14.11).

А

Рис.14.11

нализ границы области указывает на целесообразность перехода кэллиптическим полярным координатам по формулам (2.8), (2.9): , . Уравнения границы области в координатах будут: 1), 2), 3), 4). Итак, область интегрирования в координатахесть

. Тогда

. 