Задачи для самостоятельного решения

Перейти в тройном интеграле к цилиндрическим координатамили сферическим координатами расставить пределы интегрирования:

52. V – область, находящаяся в первом октанте и ограниченная поверхностями ,.

53. V – область, ограниченная поверхностями .

54. .

55. .

Перейдя к цилиндрическим или сферическим координатам, вычислить интегралы:

56. . 57..

58. . 59..

60. , где.

61. , где.

62. , где областьV ограничена поверхностью .

14.4. Некоторые приложения двойных и тройных интегралов

1. Площадь фигуры. а) Для плоской фигуры

. (4.1)

б) Площадь части искривленной поверхности рассматривается в разделе 14.6. этой главы.

2. Объем тела V: (- проекцияV на плоскость Oxy):

(4.2)

или . (4.3)

3. Масса. а) Если - поверхностная плотность массы плоской фигуры, то

. (4.4)

б) если - объемная плотность массы тела, то

. (4.5)

Для однородных фигур и тел плотность примем равной единице.

4. Статические моменты и координаты центра тяжести. а) Для плоской фигуры c плотностью и массойm статические моменты относительно координатных осей:

, ;

координаты центра тяжести:

, .

б) Для тела V с плотностью и массойm статические моменты относительно координатных плоскостей

, ,;

координаты центра тяжести:

, ,.

Пример14. Найти массу пластинки с поверхностной плотностью.

 По формуле (4.4) . ОбластьD и подынтегральная функция совпадают с областью интегрирования и функцией из примера 9 в пункте 14.2.4 при ; там же вычислен этот двойной интеграл, поэтомуи при.

Пример 15. Найти массу тела. , если объемная плотность.

 По формуле (4.5) . Тройной интегралI по данной области V вычислен в примере 12 из пункта 14.3.3, , и потому.

Пример 16. Найти объем тела ;,.

 Из формулы (4.3) . ТелоV ограничено сферами, полуконусами и плоскостями (рис.14.21).

a)

Рис.14.21

Рис.14.21 в)

Из анализа уравнений и вида поверхностей следует целесообразность перехода к сферическим координатам по формулам:,,. Поверхности, ограничивающиеV, преобразуются:1); 2) ;

3) или ;

4) ;

5) ; 6) .

Область изменения сферических координат точек области V есть

.

Тогда в силу формулы (3.7) =

=

. 

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить объемы тел, ограниченных заданными поверхностями:

63. . 64..

65. .

66. . 67.

68. - гиперболический параболоид,.

69. .70. .

71. .72. .

73. Найти массу квадратной пластинки со стороной a , если плотность пластинки в каждой точке пропорциональна расстоянию этой точки от одной из вершин и равен в центре квадрата.

Найти координаты центра тяжести однородных пластинок, ограниченных кривыми:

74. . 75..

76. . 77. - кардиоида, .

Найти координаты центра тяжести однородных тел, ограниченных поверхностями:

78. (усеченный параллелепипед).

79. .

80. .

14.5. Криволинейные интегралы.

14.5.1. Криволинейные интегралы первого рода (КИ-1)

Пусть: 1) в точках простой (без точек самопересечения), спрямляемой (т.е. имеющей длину) кривой l из пространства определена ограниченная скалярная функция2)- произвольное разбиение кривойl на элементарные дуги с длинами; 3)- произвольный набор точек; 4)- интегральная сумма, соответствующая данному разбиению кривой l и выбору точек .

Определение. Конечный предел интегральной суммы при, не зависящий ни от способа разбиения кривойl, ни от выбора точек , называетсякриволинейным интегралом первого рода от функции по кривойl: .

Вычисление КИ-1. Теорема 14.6. Если кривая l задана параметрическими уравнениями: , где- непрерывно дифференцируемые поt функции и возрастание длины L дуги кривой соответствует возрастанию t, то в предположении существования определенного интеграла имеет место равенство

. (5.1)

Следствия.

а) Если плоская кривая l задана явно: , и, то

. (5.2)

б) Если плоская кривая l задана в полярных координатах: , то

. (5.3)

Некоторые приложения КИ-1

1. Масса материальной линии. Пусть ,- линейная плотность массы материальной линииl. Тогда масса этой линии есть:

. (5.4)

2. Длина пространственной (или плоской) кривой l есть L: .

3. Статические моменты и координаты центра тяжести.

а) Для плоской линии c плотностью и массойm статические моменты относительно координатных осей Oy и Ox:

, ;

координаты центра тяжести:

, .

б) Для пространственной линии l c плотностью и массойm статические моменты относительно плоскостей иOxy:

, , ;

координаты центра тяжести:

, , .

Пример 17. Вычислить КИ-1: , гдеl – прямолинейный отрезок, соединяющий точки и.

 Уравнения отрезка прямой AB в параметрической форме: , или . Тогдаи из (5.1) имеем.

Замечание. В случае явного задания отрезка прямой следует воспользоваться формулой (5.2). 

Пример 18. Вычислить КИ-1: , гдеl – кривая, заданная уравнением при условии.

 Для построения кривой l преобразуем уравнение ее к виду ; таким образом,l есть полуокружность с центром в точке радиуса 1, расположенная слева от осиOy (рис. 14.22).

Наличие комбинациив подынтегральной функции и в уравненииl наводит на мысль провести вычисления в полярных координатах, которые связаны с декартовыми координатами формулами . Тогда: из Рис. 14.22получаем– уравнениеl в полярных координатах; из рис. 14.22 (или условий ,,следует:;,= ==,и из (5.3).

Пример 19. Найти массу одного витка материальной винтовой линии ,,(рис. 14.23), если линейная плотность в точке обратно пропорциональнаквадрату расстояния этой точки от начала координат.

 По условию задачи плотность +

=, гдеk – коэффициент про-

п

Рис.14.23.

L

орциональности,. Для одного витка. Из формул (5.4) и (5.1) имеем:=

= .