15.2.2. Соленоидальное векторное поле

Определение. Векторное поле называется соленоидальным (трубчатым) полем, если дивергенция его равна нулю:

(2.7)

(то есть это поле без источников и стоков). Из теоремы (1.11) следует, что в соленоидальном поле поток

(2.8)

через любую замкнутую поверхность, лежащую в этом поле.

Пример.Какие из нижеследующих полей являются соленоидальными (в естественной области определения):

1) ;

2) ?

Решение. 1) вычислим критерий (2.7): - - поле вектора соленоидально; 2)- поле не соленоидально.

15.2.3. Дифференциальные операции второго порядка.

Лапласово (гармоническое) векторное поле

Дифференциальные операции второго порядка – это повторно примененные операции grad, div и rot к скалярным и векторным полям, полученным в результате применения этих же операций к скалярным и векторнымполям. Возможны лишь следующие повторные операции: ; , где -лапласиан; ; ; .

Операции первого и второго порядков удобно записывать (и вычислять, доказывать) с помощью специального символического оператора (читается “набла”):

. (2.9)

Для дифференциальных операций первого порядка имеем

; . (2.10)

Операции второго порядка:

;

;

;

;

.

При применении оператора “набла” руководствуются следующим правилом: при применении оператора к произведениям скалярных,) и векторных,полей:можно поступать так: применить операторк каждому из сомножителей отдельно, считая другой постоянным (их обозначаем), и результаты сложить; затем каждоеслагаемое преобразовать по правилам векторной алгебра так, чтобы операторстоял на предпоследнем месте перед переменным множителем.

Пример. Показать, что .

Решение. В символической форме записи . Учитывая сначала дифференциальный характер, мы должны написать. Рассматривая выражениемы можем постоянный множительвынести за знак “набла” и, как скаляр, за знак скалярного произведения, что дает(на последнем шаге мы опустили индекс “c”).

В выражении оператордействует только на скалярную функциюu; поэтому мы можем написать, что . В результате получаем формулуили.

Задачи для самостоятельного решения

Найти потенциалы следующих плоских и трехмерных полей:

91. ;92. ;

93. ; 94. ;

95. ; 96. ; 97. ;

98. ; 99. ; 100. ;

101. ;

102. ;

103..

104. Доказать, что поле вихрей соленоидально: .

105. Доказать, что в соленоидальном поле поток вектора через замкнутую поверхность, не содержащую внутри особых точек, равен нулю.

В задачах 106 – 109 проверить соленоидальность заданных полей:

106. ;107. ;

108. ; 109. .

110. Доказать, что в соленоидальном поле поток вектора поля через поперечное сечение любой векторной трубки (определенный в одном и том же направлении) сохраняет постоянное значение.

111. Показать, что поле вектора соленоидально во всякой области, не содержащей начало координатO(0,0,0).

112. Найти условие соленоидальности поля .

113. Показать, что в соленоидальном поле поток вектора не зависит от вида поверхности (S), натянутой на данный контур (L), а зависит только от самого контура.

114.Показать, что векторное поле - соленоидальное и безвихревое.

Используя правило применения оператора к произведениям скалярных и векторных полей, доказать справедливость следующих формул:

115. ;116. ;

117.; 118.;

119. ;

120. ;

121. .

122. Найти . В каком случае?

123. Показать, что скалярное поле ,, является гармоническим.

В задачах 124 – 131 выяснить, какие поля – гармонические, какие – нет: