15.1.5. Ротор (вихрь) векторного поля

Пусть поле - дифференцируемое поле (то есть проекции вектора поля на оси координат являются дифференцируемыми функциями).

Определение.Вихрем векторного поля(обозначаетсяrot) называется вектор, проекция которого на произвольный векторопределяется как предел отношения циркуляции поляпо некоторому контуру (L), содержащему точкуM, и лежащему в плоскости, перпендикулярной вектору, к площади области, ограниченной этим контуром, при условии, что этот контур стягивается в точкуM, а площадь области (S) стремится к нулю:

. (1.13)

В трехмерном пространстве через декартовы прямоугольные координаты векторавыражается следующим образом:

, (1.14)

или в удобной для запоминания символической форме

. (1.15)

Теорема Стокса.Пусть координаты вектора+непрерывны и имеют непрерывные частные производные. Тогда циркуляция векторного поляпо замкнутому контуру (L) равна потоку вихрей поля через произвольную поверхность (S), натянутую на этот контур:

. (1.16)

Предполагается, что ориентация контура (L) и поверхности (S) согласованы: при положительном обходе контура нормаль направлена от “ног к голове”.

Свойства ротора: 1) ; 2) .

Определение.Векторное поленазывается безвихревым в данной области (V), если.

Пример 1.Найти ротор поля вектора напряженности магнитного поля.

Решение. Векторв координатной форме:. Вычислим ротор по формуле (1.15):

+-

- поле напряженности - безвихревое поле.

Пример 2.Вычислить циркуляцию векторапо контуру1)непосредственно, 2)по теореме Стокса.

Р

Рис.5.

ешение. 1)Контур (L) – окружность радиуса, лежащая в плоскостиz=3 (см. рис.5). Выберем ориентацию на ней, как указано на рисунке. Параметрические уравнения линии, так что,. Для циркуляции вектораимеем:. 2)Для вычисления циркуляции по теореме Стокса выберем какую-нибудь поверхность (S), натянутую на контур (L).Естественно в качестве (S) взять круг, имеющий линию (L) своей границей. Согласно выбранной ориентации контура нормальк кругу необходимо взять равной. Вычислим ротор:. По теореме Стокса.

Задачи для самостоятельного решения

Найти векторные линии плоских векторных полей:

1.;2. ;3. ;4.;

5..

Найти векторные линии:

6. ; 7. , где;

8. ; 9., ;

10.; 11.; 12.;

13., где -постоянные векторы.

Найти векторные линии, проходящие через заданную точку:

14.,;15.,.

Вычислить поток векторного поля, используя поверхностный интеграл первого рода:

16., (S): верхняя сторона треугольника, ограниченного плоскостями,.

17. , (S): внешняя сторона параболоида, ограниченного плоскостью;

18.,: боковая поверхность кругового цилиндра, ограниченного плоскостями;

19. , (S): внешняя сторона части параболоида, расположенной в первом октанте;

20., (S): полная поверхность конуса, ограниченного плоскостью;

21. , (S): замкнутая поверхность, ограниченная параболоидоми плоскостьюz= 0;

22. , (S): полная поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями,,,;

23., (S): сфера.

Вычислить поток, используя метод проектирования на все три координатные плоскости.

24., (S): верхняя сторона круга, вырезанного конусомна плоскости

25., (S): верхняя сторона треугольника, полученного пересечением плоскостис координатными плоскостями;

26. , (S): часть плоскости, ограниченная окружностью, в направлении орта.

Определить поток поля, используя формулу Гаусса-Остроградского:

27., (S): произвольная кусочно гладкая замкнутая поверхность;

28. , (S): поверхность куба,,;

29., (S): сфера;

30. , (S): часть параболоида, отсекаемая плоскостью; в отрицательную сторону осиOx;

31., (S): поверхность тела,,,

;

32. , (S): поверхность тела,;

33. , (S):;

34.;

35. .

Найти линейный интеграл вектора на плоскости:

36. верхняя половина эллипсаот точкиA(a,0), до точкиB(-a,0);

37.а) отрезок прямойOB; б) дуга параболы; в) дуга параболы; г) ломанаяOAB, гдеA(1,0); д) ломанаяOCB, гдеC(0,1);

38.

39.от точки (-1, 1) до точки (2, 2).

Вычислить линейный интеграл:

40.

41.,отрезок прямой от точки (1,1,1) до точки (4,4,4);

42.

43.

44. отрезок прямой от точки (0,0,0) до точки (1,1,1).

45.Дана напряженностьсилового поля. Найти работу поля при перемещении массыmвдоль одного витка винтовой линии,из точкив точкуB(t=2);

46.Силовое поле образовано силой, равной по величине расстоянию от начала координат до точки ее приложения и направленной к началу координат. Найти работу поля по перемещению единицы массы вдоль дуги параболыот точки с абсциссойдо точки с абсциссой.

В задачах 47- 51 найти циркуляцию поля:

47. в отрицательном направлении;

48. замкнутая линия, образованная отрезками осей координатOxиOyи другой астроиды,, лежащей в первом квадранте;

49.

50.

51.линия пересечения параболоидас координатными плоскостями (в первом октанте);

52.Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростьювокруг осиOz. Вычислить циркуляцию поля линейных скоростей вдоль окружности радиусаR, центр которой лежит на оси вращения, если плоскость окружности перпендикулярна оси вращения (циркуляция рассматривается в направлении вращения).

53.Найти работу поляпри перемещении точки единичной массы вдоль замкнутой линии, состоящей из трех прямолинейных отрезков, лежащих в координатных плоскостях, отсекающих на осях координат отрезки, равные единице.

Найти дивергенцию нижеследующих полей:

54.. При какой функциибудет?

55. ;56. - линейная скорость точек вращающейся жидкости- угловая скорость);

57.напряженность магнитного поля,J,– постоянные;

58.; 59. ;

60.Вычислитьв точке (1,-1,1).

Найти поток векторного поля через указанные замкнутые поверхности: 1) непосредственно, 2) по теореме Гаусса-Остроградского в векторной формулировке:

61.

62.

63.

64.;

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

В задачах 73 и 74 вычислить ротор указанных векторных полей:

73.74.

75.Показать, что если координаты вектораимеют непрерывные частные производные второго порядка, то.

76.Показать, что еслии- постоянные векторы, то.

77.Показать, что.

78.Показать, что.

79.Показать, что векторное полеявляется безвихревым.

80.Показать, что ротор поля линейных скоростейточек вращающегося твердого тела есть постоянный вектор, направленный параллельно оси вращения, модуль которого равен удвоенной угловой скорости вращения:.

81.Какова должна быть функция, чтобы ротор векторного полясовпадал с вектором?

Найти циркуляцию поля по указанным контурам 1)непосредственно, 2)по теореме Стокса в векторной формулировке:

82.

83.

84.по контуру, образованному пересечением плоскостис координатными плоскостями;

85.

86.

87.

88.

89.

90.

15.2. Частные случаи векторных полей. Операции второго порядка

15.2.1. Потенциальное векторное поле

Определение.Векторное поленазывается потенциальным полем, если существует некоторая скалярная функция, градиент которой образует это поле:

. (2.1)

Функция uназывается потенциалом векторного поля.

Теорема.Для того, чтобы поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым:

. (2.2)

Формула (2.2) есть критерий потенциальности векторного поля .

Свойства потенциальных полей.

1) в области непрерывности потенциала поля u линейный интеграл не зависит от пути интегрирования и равняется приращению потенциала

(2.3)

2) циркуляция (1.9) вектора по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в области непрерывности поля, равна нулю:

. (2.4)

3) потенциал находится по формуле (2.3):

, (2.5)

где (AM) – произвольная кривая, стягивающая точки A и M. Если путь (AM) взять в виде ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат (количество таких ломаных равно шести), то для нахождения потенциала может быть применена одна из формул, выражающая потенциал через определенные интегралы;):

. (2.6)

Пример. Проверить, что поле вектора является потенциальным и найти его потенциал.

Решение. Составим для данного поля критерий потенциальности (2.2):

- поле потенциально. Найдем потенциал по формуле (2.6): за начальную точку удобно взять точкуA(0,0,0): .