15.1.2. Поток векторного поля

1. Определение потока векторного поля

Рассмотрим векторное поле , где проекции- непрерывные функции в некоторой области (V). Возьмем некоторую гладкую (кусочно гладкую) двустороннюю ориентированную поверхность (S) (то есть двустороннюю поверхность с выбранным на ней направлением нормали).

Определение.ПотокомПвекторного полячерез двустороннюю ориентированную поверхность (S) называется поверхностный интеграл первого рода по поверхности (S):

. (1.3)

Здесь - орт нормали к выбранной стороне (S);ds– элемент площади поверхности (S).

Замечание.В случае замкнутой поверхности ее ориентируют, направляя нормаль изнутри области (V) наружу. Сторона с положительным направлением нормали называется положительной стороной поверхности.

Для потока можно дать следующие записи через поверхностные интегралы первого и второго рода :

(1.3)

где ,,- то есть- проекции площадкина плоскостиOyz,Oxz,Oxyсоответственно.

Пример.Вычислить поток векторного поля- радиус-вектор точки) через полную поверхность прямого кругового цилиндра с высотойHи радиусом основанияR(см. рис.1).

Р

Рис.1.

ешение.Так как поверхность (S) есть объединение поверхностейи, то поэтому для потокаП(по свойству аддитивности) имеем:. На боковой поверхностинормальпараллельна плоскостиOxy; следовательно,и поток=. На нижнем основаниинормальпараллельна осиOz:. Тогдаи; на стороненормальи, т.е.и.Искомый поток. Обратим внимание на то, что. Ниже увидим, что это не случайно.

2. Способы вычисления потока

1. Метод проектирования.Пусть поверхность (S) задана явным уравнением. В этом случае орти. Для потокаП получим формулу:

. (1.4)

Замечание 1.При проектировании на другие плоскости в подынтегральную функцию в формуле (1.4) следует добавить (множителем) проекциюна координатную ось, перпендикулярную плоскости проектирования.

В формуле (1.4) () – область на плоскостиOxy, в которую проектируется поверхность (S); произведениеdxdyберется со знаком +, если уголмежду осью Ozи нормальюострый, и минус, если уголтупой. Символозначает, что в подынтегральную функцию вместоzнадо подставить.

Замечание 2.Аналогичные формулы можно записать, если проектировать поверхность (S) на плоскостиOxzилиOyz.

Замечание 3.В случае неявного задания поверхности (S)вектор.

Пример 1.Найти поток векторного полячерез верхнюю сторону треугольникаАВСс вершинами в точках,,(см. рис.2).

Р

Рис.2.

ешение.Составим уравнение плоскости (поверхности (S)), проходящей через три заданные точки:

,

откуда . Поверхность (S) проектируется на плоскостьOxyв область,. Из условия следует, что нормальобразует острый угол с осьюOz. Имеем=; произведениеdxdy, берем со знаком “+”. Тогда по формуле (1.4)

.

Пример 2.Вычислить полячерез замкнутую поверхность (S), ограниченную цилиндроми плоскостями,. Положительной стороной (по определению) считаем внешнюю сторону замкнутой поверхности.

Решение.Поверхность (S) кусочно гладкая. Разобъем ее на три части (см. рис.3):. В связи с этим. 1 )Для поверхностиz=0 и.

Т

Рис.3.

огда. Проекцияповерхности (S) на плоскостьOxyесть полукруг,. С учетом направления нормалидля потокаполучим:. Переходя к полярным координатам, найдем.2) Дляи. Поверхностьпроектируется на плоскостьOxyв область () (см.п.1), и поток

=.3)Для,

и =. Однозначно поверхностьпроектируется на плоскостьOyzв область (), ограниченную линиями.

Исключая отсюда x, найдем проекцию этой линии на плоскостьOyz:. Для потока получим (напомним Замечание 1: следует учесть, что в этом случае

=. 4) Для потокаполучим.

2. Метод проектирования на все три координатные плоскости. Пусть поверхность (S) однозначно проектируется на все три координатные плоскости: (D_xy):z=z(x,y);;.Для потокаП в этом случае имеем (вторая формула из (1.3)):

(1.5)

В (1.5) знаки проекций dydz,dxdz,dxdyвыбираются в соответствии с сформулированным выше правилом.

Пример 3.Найти поток векторачерез часть внешней стороны сферы, заключенной в первом октанте.

Решение.Имеем. С учетом того, что поверхность расположена в первом октанте, проекцииdydz,dxdz,dxdyберем со знаком “+”. По формуле (1.5). Из уравнения сферы имеем:;;и

. Очевидно, . Вычислим этот интеграл в полярной системе координат:===. Следовательно,.

3. Применение формулы Гаусса-Остроградского.Приведем соответствующую теорему.

Теорема.Если в некоторой областипроекции полянепрерывны и имеют непрерывные частные производные, то поток векторачерез произвольную замкнутую кусочно гладкую поверхность (S), расположенную целиком в области, равен тройному интегралу от суммыпо области (V), ограниченной поверхностью (S):

(1.6)

- формула Гаусса-Остроградского.

Замечание. Подынтегральная функция в тройном интеграле (1.6) называется дивергенцией (расходимостью) поля ; обозначается.

Пример 4. Вычислить поток векторачерез замкнутую поверхность,.

Решение. По формуле (1.6). Для вычисления этого интеграла применим сферическую систему координат:,,;. Таким образом,

.

Пример 5.Используя формулу Гаусса-Остроградского (1.6), вычислить поток полячерез верхнюю сторону части поверхности, расположенную над плоскостьюOxy.

Решение.Для того, чтобы можно было применить формулу (1.6), замкнем снизу данную поверхность куском плоскостиOxy, который ограничен окружностью,z = 0 . Вычислим подынтегральную функцию, стоящую под знаком тройного интеграла:. Отсюда следует, что потокП=0. По свойству аддитивности, откуда искомый поток. Уравнение поверхностии. Таким образом,- потокчерез поверхностьz=0 численно равен площади круга; искомый поток.