Бутылка Клейна
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Эта версия страницы ожидает проверки и может отличаться от последней подтверждённой, проверенной 12 марта 2011.
Данная версия страницы не проверялась участниками с соответствующими правами. Вы можете прочитать последнюю стабильную версию, проверенную 12 марта 2011, однако она может значительно отличаться от текущей версии. Проверки требуют 6 правок.
Перейти к: навигация, поиск
Бутылка Клейна, погружённая в трёхмерное пространство.
Бутылка Клейна — это определённая неориентируемая поверхность (то есть двумерное многообразие). Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г. немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса и проективной плоскостью. Название, по одной версии, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка). По другой версии, название обязано тому обстоятельству, что простейшее наглядное изображение данной поверхности в пространстве напоминает по форме бутылку.
Чтобы построить модель бутылки Клейна, необходимо взять бутылку с двумя отверстиями: в донышке и в стенке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве), присоединить к отверстию на дне бутылки.
В отличие от обыкновенного стакана у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара можно пройти путь изнутри наружу не пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).
Более формально бутылку
Клейна можно получить склеиванием
квадрата
,
идентифицируя точки (0,y)
~ (1,y)
при
и
(x,0)
~ (1-x,1)
при
,
как показано на диаграмме.
|
Содержание
|
Свойства
Подобно ленте Мёбиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.
Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство
,
но вкладывается в
.Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве
сделать
это, не создав самопересечения,
невозможно.Хроматическое число поверхности равно 6.
Рассечения
При рассечении бутылки Клейна получается лента Мёбиуса
Реализация бутылки Клейна в виде восьмерки
Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет лента Мёбиуса, изображенная справа (необходимо помнить, что изображенного пересечения на самом деле нет).
Параметризация
Бутылка Клейна в виде восьмёрки имеет довольно простую параметризацию:
В этом виде самопересечение имеет форму геометрического круга в плоскости XY. Константа r равна радиусу круга. Параметр u задаёт угол на плоскости XY и v обозначает положение около 8-образного сечения.