topology / Многообразия / Многообразия малых размерностей

Топологические многообразия малых размерностей

1. Ручки, трубки, пленки

2. Ориентируемость

3. Модельные поверхности с краем

4. Гипотеза Пуанкаре (интересные факты)

Литература

В топологии многообразий проблема гомеоморфизма является центральной. Здесь я расскажу о ее решении в простейших случаях: опишу топологическую классификацию одномерных и компактных двумерных многообразий (или, иначе говоря, поверхностей). При этом достаточно ограничиться связными многообразиями.

Теорема 1. Всякое связное одномерное многообразие без края гомеоморфно числовой прямой или окружности . Всякое связное одномерное многообразие с непустым краем гомеоморфно отрезку I=[0,1] или лучу =[0,+).

С другой стороны, ясно, что и I— пространства и I компактны, а и — нет.

Ручки, трубки, пленки. Для описания возможных топологических типов замкнутых двумерных многообразий нам понадобятся термины «ручка», «трубка» и «пленка». Ручкой будем называть часть двумерного многообразия, гомеоморфную тору с дыркой (рис.8). Трубкой будем называть часть двумерного многообразия, гомеоморфную кольцу (кругу с дыркой). (Название это связано с тем, что трубка гомеоморфна боковой поверхности прямого кругового цилиндра). Пленкой будем называть часть двумерного многообразия, гомеоморфную листу Мёбиуса (рис. 9).

Ориентируемость. Назовем двумерное многообразие неориентируемым, если оно содержит хотя бы одну пленку, и ориентируемым в противном случае.

Сферы с дырами. Напомним, что сферой с п дырами называется дополнение в сфере внутренности п попарно непересекающихся кругов. Сфера с одной дырой гомеоморфна кругу, сфера с двумя дырами гомеоморфна кольцу. Сфера с п дырами гомеоморфна кругу с n − 1 дырами (рис. 10). Все сферы с п дырами гомеоморфны.

Рис. 9

Сферы с ручками. Замкнутое двумерное многообразие называется сферой с р ручками, если в нем можно выделить р попарно непересекающихся ручек, замыкание дополнения к которым гомеоморфно сфере

Рис. 10

с р дырами (рис. 11). Оказывается, все сферы с ручками ориентируемы.

Все сферы с р ручками гомеоморфны. Вот другое их описание: ориентируемое двумерное многообразие гомеоморфно сфере с р ручками, если в нем можно выделить р попарно непересекающихся трубок, замыкание дополнения к которым гомеоморфно сфере с 2р дырами (рис. 12).

Примеры. 1. Тор гомеоморфен сфере с одной ручкой (рис. 13).

2. Крендель гомеоморфен сфере с двумя ручками (рис. 14).

3. Еще одна стандартная поверхность, гомеоморфная сфере с р ручками (р = 4), изображена на рис. 15 и 16.

Рис. 11

Оказывается, что всякая замкнутая ориентируемая поверхность гомеоморфна сфере с несколькими ручками.

Сферы с пленками. Замкнутое двумерное многообразие называется сферой с q пленками, если в нем можно выделить q попарно непересекающихся пленок, замыкание дополнения к которым гомеоморфно сфере с q дырами.

Очевидно, что при q 1 сфера с q пленками неориентируема. (Так как неориентируемость, по нашему определению, — это наличие на поверхности пленок.)

Пример. Нарисовать сферу с пленками довольно трудно: будучи неориентируемой, она не вкладывается в трехмерное евклидово пространство. Однако изобразить ее все-таки можно. Например, вот так выглядит сфера с двумя пленками, иначе называемая бутылкой Клейна (рис. 17,а, б).

а ба б

Рис. 17 Рис. 18

На рис.17 а, б изображено множество – образ сферы с двумя пленками при некотором ее отображении в (образы пленок заштрихованы). В этом множестве содержится двойная окружность, образованная точками, прообразы которых состоят из двух точек. Бутылка Клейна состоит из двух «половинок», гомеоморфных листу Мёбиуса (см. рис. 18 а, б).

Труднее изобразить сферу с одной пленкой — хорошо знакомую нам проективную плоскость.

Отметим, что всякая замкнутая неориентируемая поверхность гомеоморфна сфере с несколькими пленками.

Модельные поверхности с краем. Назовем поверхность сферой с р ручками (пленками) и r дырами, если в ней можно выделить p попарно непересекающихся ручек (пленок), не пересекающихся с краем поверхности, замыкание дополнения к которым гомеоморфно сфере с p + r дырами.

Оказывается, что всякая ориентируемая компактная поверхность гомеоморфна сфере с несколькими ручками и дырами, а всякая неориентируемая – сфере с несколькими пленками и дырами.

[http://alexandr4784.narod.ru/antoppdf/519-527.pdf]

[http://alexandr4784.narod.ru/antoppdf/527-532.pdf]

[http://www.ega-math.narod.ru/Nquant/Space.htm]

[http://wsyachina.narod.ru/astronomy/configuration_universe.html]