Геометрия - слово греческое, в переводе на русский язык означает землемерие, изучает свойства фигур. Как и любая наука геометрия делится на разделы:

1. Планиметрия (лат. слово, планум - поверхность, плоскость + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости (треугольник, квадрат, круг, окружность и т.д.)

2. Стереометрия (греч, стереос - пространство + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве (шар, куб, параллелепипед и т.д.)

3. Топология (гр. топос - место, местность + логия) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания. Родоначальниками топологии были немецкий учёный Георг Кантор (1845-1918), Феликс Хаусдорф, Павел Сергеевич Александров (1896-1982).

Геометрия и топология

Как было сказано выше, что топология изучает свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях, не допускающих разрывов и склеивания. С точки зрения топологии баранка и кружка одно и тоже. Сжимая и растягивая кусок резины можно перейти от одной из этих фигур к другой. А вот баранка и шар - разные объекты; чтобы сделать отверстие, надо разорвать баранку. Примерами топологических фигур могут быть фигуры:

Примеры не равных фигур в топологии:

Вторая фигура получается из первой путем склеивания точек С₁ и Д₁, С₂ и Д₂ и растяжения отрезка АВ. Топологические равенства отличаются от равенств в геометрии твёрдых фигур, где равенство фигур равносильна равенству изме­рении. В топологии фигуры не имеют измерений. Самым известным объектом в топологии является лист Мёбиуса.

Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества является параметризация:

где Эти формулы задают ленту Мебиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x – y с центром (0,0,0). Параметр пробегает вдоль ленты, в то время как задает расстояние от края.

В цилиндрических координатах (r, ,z), неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением:

.

Топологически лист Мёбиус может быть определен как факторпространство квадрата по отношению эквивалентности (x,0) ~(1-x,1) для .

Лист Мёбиуса — неориентируемая поверхность с краем.

Лист Мёбиуса — это также пространство нетривиального расслоения над окружностью с слоем отрезок.

Историческая справка

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса придумал в 1858 году немецкий геометр Август Фердинанд Мебиус (1790-1868), ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика обязана своим развитием. В те времена занятия матема­тикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляло время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одни из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Идея пришла ему в голову, когда служанка не правильно сшила ленту.

17 ноября 1790 года 215 лет назад в Германии родился мальчик – здоровый и крепкий малыш. Как и все дети, он сначала научился ползать, потом ходить, позже говорить. Все шло и развивалось своим чередом. Школа, университет. Мальчику повезло: астрономию ему преподавал сам Гаусс, математику – Пфафф. Как-то незаметно для окружающих в 26 лет он стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил ошарашивать их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека за 215 лет растворилось в истории, если бы ни одно ненастное утро…На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.

На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту. Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!”

Эта история произошла либо в 1853, либо в 1855 году. Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома. Лента вдохновила на подвиги не одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.

Существует ещё одна версия: Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками А.Ф.Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана. Для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые (топологически они, однако, неразличимы).