topology / Многообразия / Проблема Пуанкаре - 2

Сама гипотеза даёт достаточное условие того, что пространство является трёхмерной сферой с точностью до деформации. В исходной форме гипотеза Пуанкаре утверждает, что:

Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

Доказательство основывается на Потоках Риччи — это уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (т.е. вложенное), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию. Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме. Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией». При доказательстве гипотезы Пуанкаре, начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии M и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие M можно представить как набор сферических пространственных форм, соединённых друг с другом трубками . Подсчёт фундаментальной группы показывает, что M диффеоморфно связанной сумме набора пространственных форм и более того все тривиальны. Таким образом, M является связной суммой набора сфер, то есть, сферой.

Гипотеза Пуанкаре: Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

Обобщённая гипотеза Пуанкаре: Для любого n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.

Исходная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при n = 3.

Схема доказательства. Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть, вложенное ), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию. Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме. Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией».

При доказательстве гипотезы Пуанкаре, начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии M и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие M можно представить как набор сферических пространственных форм соединённых друг с другом трубками. Подсчёт фундаментальной группы показывает, что M диффеоморфно связанной сумме набора пространственных форм и более того всетривиальны. Таким образом, M является связной суммой набора сфер, то есть, сферой.

А теперь более простым языком: Топология, странная наука, в которой два предмета сравниваются только по количеству дырок в них: чайная чашка ничем не отличается от бублика, а апельсин — от Солнца. На самом деле, конечно, топология — очень глубокая наука, и объекты и свойства, которые она изучает, весьма многочисленны и разнообразны. Но прелесть в том, что для понимания сути гипотезы Пуанкаре нам ничего, кроме этих наивных представлений, и не потребуется!

Будем чуточку более формальны. Говорят, что поверхность k-связна, если на ней можно провести k-1 замкнутую кривую, которые не делят ее на две части. Сфера (поверхность апельсина) односвязна: как ни проводи на ней замкнутую кривую, кусочек вырежется; а вот поверхность бублика двусвязна — ее можно, например, разрезать поперек, превратив в цилиндр, но сохранив целостность (а вот повторно разрезать цилиндр уже не получится). Для поверхностей в трехмерном пространстве это свойство как раз и означает, что в поверхности есть k-1 «дырка». В общем случае поверхность односвязна, если на ней любую замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в точку. Интуивно очевидно, например, что поверхность бублика этим свойством не обладает (меридиан или параллель в точку не стягиваются).

Другое важное понятие — гомеоморфизм — также уже встречается в рассуждениях о неразличимости чашки и бублика. Именно в этой неразличимости и дело: гомеоморфизм — это непрерывное преобразование, деформация, которой можно подвергнуть множество, сохранив при этом его топологические свойства (например, k-связность). Чашку легко непрерывным преобразованием превратить в бублик, а апельсин — в Солнце. При этом преобразовании сохраняются важнейшие топологические инварианты (об инвариантах я уже рассказывал в статье, посвященной гипотезе Ходжа), такие, как число k. Два множества, которые можно гомеоморфизмом превратить друг в друга, с топологической точки зрения считаются эквивалентными.

Гипотеза Пуанкаре состоит в том, что каждая односвязная трехмерная поверхность гомеоморфна трехмерной сфере. Хочу обратить особое внимание на то, что «трехмерная поверхность» может размещаться в пространстве, чья размерность как минимум 4! Трехмерная сфера — это поверхность четырехмерного шара (привычная нам двухмерная сфера — поверхность трехмерного шара)».

18 марта 2010 года математический институт Клэя присудил Премию тысячелетия за доказательство гипотезы Пуанкаре Г. Я. Перельману.

На самом деле всё объясняется много проще без выламывающих мозги определений - принципом Образа и Подобия.

Конечно кружка и ленточка в природе, изменяющаяся в бублик или в апельсин не встречается, так на хрен все эти измыслы..., для ещё одного витка "НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ" на 100 лет.

Без Подобия процессов и тем более их имитация, как на теоретическом, так и на практическом уровне, ни сама

Гипотеза, ни тем более её "доказательство" – просто очередной бред.

1