Клеточные пространства (Каша)

Содержание

Введение

1.Топологические развлечения (?)

2. Общие сведения (???)

3.Основные определения (???)

4.Терминалогическое замечание

5. Комментарии к определению клеточного пространства

6. Клеточные разбиения классических пространств

6.1 Сферы и шары

6.2 Проективные пространства

6.3 Многообразия Грассмана

6.4 Классические поверхности

7. Гомотопические свойства клеточных пространств

7.1.основные определения и теоремы

7.2. Первые применения теоремы о клеточной аппроксимации

Заключение

Список использованных источников

Введение

Первые сведения по тополгии можно найти в работах Карла Вейерштрасса (60-е годы 19 в.) в которых он анализирует понятие предела функции. Он пытался реконструировать систему действительных чисел и обнаружил некоторые из ее свойств, ныне называемых «топологическими». Затем появились смелые исследования Георга Кантора по теории точечных множеств; они подготовили фундамент, на котором топология в конце концов воздвигла совой собственный дом.

Топология оказывает влияние на многие разделы математики. Она изучает, в частности, такие свойства произвольных геометрических образов, которые сохраняются при преобразованиях, происходящих без разрывов и склеивания, или, как говорят математики, – при взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях. Такие преобразования называют топологическими. Два геометрических образа в топологии рассматриваются как «одинаковые», если один из них можно перевести в другой топологическим преобразованием. Например, круг и квадрат на плоскости можно преобразовать друг в друга топологическим преобразованием – это топологически эквивалентные фигуры. В то же время круг и кольцевая область, получаемая из круга «выбрасыванием» концентричного круга меньшего радиуса, с точки зрения топологии – различны.

Весьма значительную роль играет гомотопическая топология, которая почти никогда не рассматривает совершенно произвольных топологических пространств. Обычно она изучает пространства с той или иной дополнительной структурой, причем со времен основоположника топологии Анри Пуанкаре рассматривают структуры двух типов. Первый тип - структуры аналитического происхождения: дифференциальная, риманова, симплектическая и т.д. Структуры второго, более важного для нас типа - комбинаторные структуры. Они заключаются в том, что пространство расчленено на более или менее стандартные, и изучение пространства сводится к изучению взаимного расположения этих частей.

Одна из важнейших из комбинаторных структур - клеточная структура. В гомологии она является эффективным вычислительным средством.

Данная работа посвящена изучению клеточной структуры, приведению некоторых теорем, свидетельствующие о полезности понятия клеточного пространства для гомотопической топологии., а так же подтверждающие необходимость изучения рассмотренной темы и всей топологии в целом, как основы для систематизации знаний по многим разделам высшей математики.

1.Топологические развлечения

Раз моряки погожим днем

Пустились по морю втроем,

Но не в тазу — была у них

Бутылка Клейна на троих.

Три моряка в бутылку сели

В ней не страшны ни шторм, ни мели.

Но оказалось им на горе

И судно в море, и в судне море,

Фредерик Уинзор

Самый простой и наглядный пример замкнутой поверхности известен под названием бутылки Клейна. Ее построил в 1882 году немецкий математик Феликс Клейн. Обычная бутылка имеет наружную и внутреннюю стороны. Если муха захочет переползти с наружной поверхности на внутреннюю или наоборот, ей непременно придется пересечь край, образуемый горлышком. В отличие от обычной бутылки бутылка Клейна не имеет края, а ее поверхность нельзя разделить на внутреннюю и наружную. Та поверхность, которая кажется наружной, непрерывно переходит в ту, которая кажется внутренней.

Ксожалению, в трехмерном пространстве нельзя построить бутылку Клейна, поверхность которой была бы свободна от точек самопересечения. Традиционный способ изображения бутылки Клейна показан на рисунке

Представим себе, что мы оттянули нижний конец трубки, загнули его вверх и, пропустив сквозь поверхность трубки, совместили с верхним концом. У реальной модели, изготовленной, например, из стекла, в том месте, где конец трубке проходит сквозь ее поверхность, придется оставить отверстие. Его не следует принимать во внимание: оно считается как бы затянутым продолжением поверхности бутылки. Иначе говоря, отверстия нет, есть только самопересечение поверхности бутылки. Такое самопересечение неизбежно до тех пор, пока мы имеем дело с трехмерной моделью. Если же мы представим себе, что вся поверхность погружена в четырехмерное пространство, то самопересечение можно будет полностью исключить.