3. Температурная зависимость сопротивления

полупроводников¹⁶

Ширина запрещенной зоны в полупроводниках меньше чем диэлектриках и в результате тепловых переходов электронов из заполненной валентной зоны в свободную зону проводимости в полупроводниках возникает электропроводность. Однако проводимость полупроводников создается не только электронами в зоне проводимости. После перехода электрона в валентной зоне остается свободное место (вакансия). Валентная зона теперь заполнена не целиком и тоже может принять участие в электропроводности. Анализ этого процесса показывает, что проводимость вызванная наличием вакансий в валентной зоне эквивалентна движению небольшого числа частиц с положительным знаком и зарядом равным заряду электрона. Такие «частицы» получили название дырок¹⁷. В чистом полупроводнике свободные электроны создаются путем разрыва связей между атомами кристаллической решетки. Каждый акт рождения свободного электрона сопровождается рождением соответствующей дырки (рис. 6.2). Здесь концентрация свободных электронов n равна концентрации дырок p.

Для kT > W_F выражение (6.1 ) принимает вид

f(W₂)  exp -(W₂ –W_F)/kT,

W₂ – нижняя граница энергии в зоне проводимости.

Концентрация электронов n будет пропорциональна

f  exp -(W₂ –W_F)/kT

и концентрация дырок 1 – f  exp -(W₁ –W_F)/kT.

Тогда

exp -(W₂ –W_F)/kT = exp -(W_F –W₁)/kT.

Откуда

W₂ –W_F = W_F –W₁ или

2W_F = W₁ + W₂ . (6.4)

Ширина запрещенной зоны

W = W₂ – W₁. (6.5)

Из приведенных выражений (6.4 и 6.5) следует, что уровень Ферми в полупроводниках находится посредине запрещенной зоны¹⁸. Концентрация носителей пропорциональна

n = p ~ exp – (W/2kT).

Концентрация электронов и дырок быстро растет с ростом температуры, и это определяет сильную температурную зависимость проводимости от температуры¹⁹.

Можно показать, что проводимость 

σ = e_n +e_p ~ exp(-W/2kT),

здесь _nи_p– подвижности электронов и дырок соответственно,е– заряд электрона,W– ширина запрещенной зоны или энергия активации. Поэтому электропроводность полупроводников (в связи с тем, что она пропорциональна числу носителей тока) быстро растет с температурой, изменяясь по закону

, ( 6.6)

где ΔW — энергия активации, k — постоянная Больцмана,

σ₀ — некоторая постоянная, зависящая от физических свойств материала.

Переходя в формуле (6.6) к величине сопротивления, получаем, что сопротивление полупроводников выражается также экспоненциальным законом:

( 6.7 )

где R₀ зависит только от физических свойств материала и размеров образца. Резкий рост электропроводности полупроводников с температурой используется в термосопротивлениях (термисторах), которые сейчас используются в самых различных областях техники. На рис. 6.4 в качестве примера приведена примерная зависимость сопротивления от температуры для полупроводникового материала, который используется в данной работе.

Прологарифмировав выражение (6.7), получим

. ( 6.8)

Последняя формула представляет уравнение прямой линии в координатахln R и 1/T. Другими словами, если для термистора справедливо выражение (6.7), то, построив зависимость его сопротивления от температуры в координатах ln R и 1/T, мы должны получить прямую линию, имеющую вид, приведенный на рис. 6.5.

Если продолжить прямую до пересечения с осью ординат, то отрезок, который она отсекает на этой оси, численно равен ln R₀. Тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс ()определяет величину постоянной (постояннаяВ измеряется в градусах температуры). Пользуясь наклоном полученной в работе прямой и выражая постоянную Больцмана в электрон-вольтах, можно получить значение энергии активации W также в электрон-вольтах:

(6.8)