Изучение поля соленоида

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9

ИЗУЧЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ СОЛЕНОИДА С ПОМОЩЬЮ ДАТЧИКА ХОЛЛА

Цель работы.Определение постоянной Холла для полупроводниковых материалов и измерение индукции магнитного поля в разных точках на оси соленоида конечной длины.

Приборы и оборудование. Кассета ФПЭ-04, источник питания, цифровой вольтметр, измеритель магнитной индукции Ш1-8.

1. Индукция магнитного поля

Покоящийся заряд образует вокруг себя электрическое поле. При переходе в другую инерциальную систему координат, движущуюся со скоростью vотносительно первой, заряд будет иметь скоростьvи обладать магнитным полем, индукция которого

, (9.1)

где q - заряд частицы; r - радиус-вектор, соединяющий заряд с данной точкой пространства; ₀ = 410^-7 Гн/м.

Индукция - это силовая характеристика магнитного поля, являющаяся аналогом вектора напряженности Е электрического поля. Определить модуль и направление вектора В можно, измерив силы, действующие в магнитном поле на движущиеся заряды или проводники с током. Модуль вектора В равен

,

где  — угол между векторами v и В.

Рассмотрим элемент проводника dl с током I и концентрацией п заряженных частиц. Все заряды движутся вдоль проводника со средней скоростью

, (9.2)

где S = const — площадь поперечного сечения проводника. Тогда на расстоянии r от элемента dl вся совокупность движущихся зарядов образует магнитное поле с индукцией

. (9.3)

Модуль вектора dB равен

где  - угол между векторами dl и r. Формула (9.3) представляет собой математическую запись закона Био — Савара — Лапласа¹. Ее используют для расчета индукции магнитного поля в данной точке пространства от любой системы проводников с током. Для этого проводники нужно разбить на элементы dl, вычислить по формуле (9.3) элементарное поле dB от каждого элемента dl с соответствующим током I и затем провести интегрирование по всем имеющимся проводникам с токами:

(9.4)

Наиболее просто интеграл (9.4) вычисляется, если все векторы dB коллинеарны (индукция магнитного поля от бесконечного прямолинейного проводника или на оси кругового проводника с током).

Вычислим индукцию магнитного поля на оси витка с током и бесконечного соленоида. По закону Био — Савара — Лапласа вектор dB перпендикулярен векторам dl и r (рис. 9.1). Если разложить вектор dB на составляющие dB₁ вдоль оси витка и dB₂ перпендикулярно ей, то последние от симметрично расположенных элементов витка dl взаимно скомпенсируют друг друга. Поэтому результирующая индукция магнитного поля в точке А направлена вдоль оси кругового тока и равна по модулю

, (9.5)

dB₁ = dBsin = . (9.6)

В (9.6) учтено, что векторы dl и r взаимно перпендикулярны. Подставляя (9.6) в (9.5) и учитывая, что R и г постоянны, имеем для поля на оси витка с током:

. (9.7)

2. Индукция магнитного поля соленоида

Пусть на единицу длины соленоида приходится п витков (рис. 9.2), тогда участок dz содержит ndz витков, которые, согласно (9.7), в точке на оси соленоида создадут индукцию

(9.8)

Из рис. 9.2 видно, что ,. (9.9)

Подставляя (9.9) в (9.8) и интегрируя полученное выражение от ₁ до ₂, имеем

(cos₁ - cos₂). (9.10)

В случае бесконечного соленоида

₁  0, ₂  , В_z = ₀In (9.11)

С тем чтобы для расчетов магнитного поля в этой работе можно было воспользоваться геометрическими размерами соленоида, выразим значения косинусов входящие в выражение (9.10). Учтем, что cos₂ = cos(180 - ₃) = - cos₃ (рис. 9.2), тогда

. (9.12)

Начало координат поместим в центр соленоида и обозначим

, (9.13)

получим:

и (9.14)

с учетом этих выражений можно воспользоваться выражением (9.12) для расчета поля соленоида как функции расстояния z от центра соленоида. Для этого необходимо знать длину соленоида L, радиус R, ток I, число витков на единицу длины n и надо задать расстояние z от центра соленоида.

Надо учитывать, что выражения (9.10, 9.12) строго применимы только для однослойного соленоида.